三次函数专题

1 三次函数专题 一、定义： 定义1 、形如 32(0)yaxbxcxd a的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2 、三次函数的导数232(0)yaxbxc a ，把2412bac 叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，当032 acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在 R 上是单调函数；当032 acb时，三次函数)0(23adcxbxaxy在 R 上有三个单调区间。 （根据0,0aa两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。 三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数的对称中心为（m，n）。 按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得： 上式对恒成立，故，得， 。 所以，函数的对称中心是（）。 可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题。 （1）当△=01242acb时，由于不等式0)( xf恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 2 （2）当△=01242acb时，由于方程0)( xf有两个不同的实根21, xx，不妨设21xx ，可知，))(,(11xfx为函数的极大值点，))(,(22xfx为极小值点，且函数)(xfy 在 ),(1x和 ),(2 x上单调递增，在21, xx上单调递减。 此时： ①若0)()(21xfxf，即函数)(xfy 极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ② 若0)()(21xfxf，即函数)(xfy 极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。 ③ 若0)()(21xfxf，即)(1xf与)(2xf中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。 4、极值点问题。 若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。 当0  时，三次函数 yf x在,   上的极值点要么有两个。 当0  时，三次函数 yf x在,   上不存在极值点。 5、...