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三角函数求值域方法导与练

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三角函数求值域专题 求三角函数值域及最值的常用方法: (1 ) 一次函数型:或利用为:xbxaycossin)sin(22xba, 利用函数的有界性或单调性求解;化为一个角的同名三角函数形式, (1):5)123sin(2xy,xxycossin (2)xxycos3sin4 (3).函数xxycos3sin在区间[0,]2上的最小值为 1 . (4)函数tan()2yx(44x且0)x 的值域是___(, 1][1,)  (2)二次函数型:化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法、 换元及图像法求解; 二倍角公式的应用: 如: (1) xxy2cossin (2)函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于43. (3).当20 x时,函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为 4 . (4).已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 1 . (5).若2,则cos6siny的最大值与最小值之和为____2____. (3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解; 型如dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法: ①转化为cxbxa cossin再利用辅助角公式求其最值; ②利用万能公式求解; ③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。 例1:求函数sincos2xyx的值域。 解法1:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象,当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值,由几何知识,易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33 。结合图形可知,此函数的值域是33[,]33。 解法2:将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy,∴22sin()1yxy由2|2 ||sin()|11yxy22(2 )1yy ,解得:3333y,故值域是33[,]33 解法3:利用万能公式求解:由万能公式212sinttx,221cos1txt ,代入sincos2xyx得到2213tyt  则有2320y tty知:当0t ,则0y ,满足条件;当0t ,由24 120y △,3333y ,故所求函数的值域是33[,]33。 解法4:利用重要不等式求解:由万能公式212sinttx,221cos1txt ,代入sincos2xyx得到2213tyt  当0t 时,则0y ,满足条件;当0t 时,22113(3 )ytttt ,如果 t > 0,则22231132 33(3 )ytttt    ,...

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