三角函数求值域方法导与练

三角函数求值域专题 求三角函数值域及最值的常用方法： （1 ） 一次函数型：或利用为：xbxaycossin)sin(22xba， 利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式， （1）：5)123sin(2xy，xxycossin （2）xxycos3sin4 （3）.函数xxycos3sin在区间[0,]2上的最小值为 1 ． （4）函数tan()2yx(44x且0)x 的值域是___(, 1][1,)  （2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用： 如： （1） xxy2cossin （2）函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于43． （3）.当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为 4 ． （4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ． （5）.若2，则cos6siny的最大值与最小值之和为____2____． （3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解； 型如dxcbxaxfcossin)(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为cxbxa cossin再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sincos2xyx的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx得最值，由几何知识，易求得过Q的两切线得斜率分别为33、33 。结合图形可知，此函数的值域是33[,]33。 解法2：将函数sincos2xyx变形为cossin2yxxy，∴22sin()1yxy由2|2 ||sin()|11yxy22(2 )1yy ，解得：3333y，故值域是33[,]33 解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt ，代入sincos2xyx得到2213tyt  则有2320y tty知：当0t ，则0y ，满足条件；当0t ，由24 120y △，3333y ，故所求函数的值域是33[,]33。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式212sinttx，221cos1txt ，代入sincos2xyx得到2213tyt  当0t 时，则0y ，满足条件；当0t 时，22113(3 )ytttt ，如果 t > 0，则22231132 33(3 )ytttt    ，...