三重积分、重积分习题

第九章 重积分 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分． 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I=zdv分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中 是由曲面z=222yx及z=x 2 +y 2 所围成的闭区域. 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222yxz及22yxz，而由这两个方程所组成的方程组22222,zxyzxy 极易消去z，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把 的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将 投影到xoy 平面上，由22222,zxyzxy消去z 得 (x 2 +y 2 ) 2 =2-(x 2 +y 2 )，或(x 2 +y 2 +2)(x 2 +y 2 -1)=0，于是有 x 2 +y 2 =1．即知， 在xoy 平面上的投影为圆域D：x 2 +y 2  1 ． 为此在D 内任取一点 Q(x，y)，过 Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过  ．穿入时碰到的曲面为22yxz，离开时碰到的曲面为222yxz(不画图，仅用代数方法也易判断22yxz222yxz)，这是因为x 2 +y 2  1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D：x 2 +y 2  1，有22yxz222yxz，于是在直角坐标下，可表示为  :2222221111...