第四节 三重积分及其计算和多重积分 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R3 中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R3 中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为 zyxf,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域nVVV,...,,21，其体积分别是nVVV,...,,21，直径分别是nddd,...,,21，即},||sup{|iiVQWWQd, (i=1,2, … ,n ） , |WQ| 表 示 W, Q 两 点 的距 离 ． 设},...,,max{21nddd，则当 很小时，zyxf,,在iV 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点iiizyx,,的密度 iiizyxf,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为 iiiiVzyxf,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 iiiiniVzyxfM ,,1． 当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 iiiiniVzyxfM,,lim10． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义 设 zyxf,,是空间3R 中的一个有界可求体积的闭区域 V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域nVVV,...,,21，这个分割也称为 V 的分划，记为 P: nVVV,...,,21. oojiVV(空, ji ), 其体积分别是nVVV,...,,21，直径分别是nddd,...,,21．设},...,,max{21nddd,或记为||P||. 在每个小区域中任意取一点 iiiiVzyx,,，作和iiiiniVzyxf,,1(称为 Riemann和)，若当0时，这个和式的极限存在，则称其极 限为函数zyxf,,在区域V 上的三重积分，记为VdVzyxf,,．并称函数zyxf,,在区域V 上可积．zyxf,,称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V 称为积分区域. 特别地，在直角坐标系下，可以记为Vdxdydzzyxf,,． 我们同样可以引入Darboux 大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略). 1. 若zyxf,,是有界闭区域V 上的连续函数，则函数zyxf,,在区域V 上可积． 2. 若zyxf,,=1 时, VVdxdydz的体积. 3. 若zyxf,,...
