三重积分的计算方法小结与例题

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分21),,(zzdzzyxf，再做二重积分DdyxF),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在 xoy 面投影域 D。多 D上一点（x,y）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfDzz 21]),,([),,( 如果先做二重积分zDdzyxf),,(再做定积分21)(ccdzzF，就是“截面法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面21czcz与之间，即],[21 ccz，过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面zD 。区域zD 的边界曲面都是z 的函数。计算区域zD 上的二重积分zDdzyxf),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分21)(ccdzzF，完成“后一”这一步。dzdzyxfdvzyxfccDz]),,([),,(21  当被积函数 f（z）仅为z 的函数（与 x,y 无关），且zD 的面积)(z容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面) （1） D 是X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算） （2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyfyxf时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算） （3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222zyxf时，可选择球面坐标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。 三重积分的计算方法小结： 1 .对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域 及被积函数f(x,y,z)的情况选取。 一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握； 截面法（先二后一）： zD 是 在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。 特殊地，对zD 积分时，f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算zDS。因而中只要],[baz, 且f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更佳。 2 .对坐标系的选取，当 为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z 或)(22yxzf时，可考虑用柱面坐标计算...