不定积分的例题分析及解法

1 不 定 积 分 的 例 题 分 析 及 解 法 这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量 )( xu，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将ud转化成du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)( xf为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)( xf为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dxxx sin；dxex2；dxxln1；xkdx22 sin1（其中 10 k）等。 这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7 章我们将看到这类积分的无限形式的表示。 一 、疑难分 析 （一 ）关于原函数与不 定 积 分 概念的 几点说明 （1 ）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数)( xf，若存在函数)( xF，使得该区间上每一点x 处都有)()(xfxF，则称)( xF是)( xf在该区间上的原函数，而表达式CCxF()(为任意常数) 称为)( xf的不定积分。 （2 ）)( xf的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)( xf的不定积分dxxf)(时，只需求出)( xf的一个原函数)( xF，再加上一个任意常数C 即可，即CxFdxxf)()(。 （3 ）原函数)( xF与不定积分dxxf)(是个体与全体的关系，)( xF只是)( xf的某个原函数，而dxxf)(是)( xf的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即CxF)(才能成为)( xf的不定积分，例如3,21,1222xxx都是x2的原函数，但都不是x2的不定积分，只有Cx2才是x2的不定积分（其中C 是任意常数）。 （4 ）)( xf的不定积分dxxf)(中隐含着积分常数C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C 。 2 （5）原函数存在的条件：如果函数)( xf是某区间上连续，则在此区间上)( xf的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚...