不定积分的换元积分法

第四节 不定积分的换元积分法 不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量（如：、arcsin x 、naxb等），则可以考虑使用换元积分法. 一、换元积分法 例6．4．1 求不定积分11dxx. 解 这里主要障碍是 “”，不妨令xt 此时2xt 这样把复杂的量“x ”换元成最简单的变量“t ” 则 11dxx 211dtt 21t dtt 1 121tdtt  12 (1)1dtt  22ln 1ttC  22ln 1xxC. 例6．4．2 求不定积分11x dxe. 解 同样令主要障碍xet ，此时lnxt 则11x dxe 1ln1dtt 11dtt t 11()1dttt lnln 1ttC  ln(1)xxeC. 例6．4．3 求不定积分 arcsin x dx. 解 令arcsin xt，此时sinxt，则 arcsin x dx sintdt  sinsintttdt  sincostttC 2arcsin1xxxC. 例6．4．4 求不定积分 2101xdxx . 解 令1xt ，此时1xt ，则 2101xdxx  21011td tt 21021ttdtt  8910(2)tttdt 789111749Cttt  789111714191Cxxx . 从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换. 二、换元积分举例 例6．4．5 用换元法求下列不定积分： （1） 1xdxx； （2）xedx； （3）1 11 1xdxx  ； （4）25xx dx； （5）311dxxx； （6）11xdxe . 解 （1） 1xdxx 21ttdttx 221tdtt 21 121tdtt  121 1tdtt  =222ln 1tttC  =22ln 1xxxC； （2）xedx 2txt e dt  2tte dt  22tttee dt  21te tC =21xexC； （3）1 11 1xdxx   21111txtd tt 221ttdtt 22221ttdtt  2221tdtt 244ln1tttC =1414ln1 1xxxC   ； （4）25xx dx 222225()55ttxttd  422425tt dt  532412575ttC = 5324252512575xxC； （5）311dxxx 663211xtdttt 226t661dtt 66...