不等式证明的基本方法经典例题透析

经典例题透析 类型一：比较法证明不等式 1、用作差比较法证明下列不等式： （1）； （2） (a，b 均为正数，且a≠b) 思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c 的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab 这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。 证明： （1） 当且仅当a=b=c 时等号成立， （当且仅当a=b=c 取等号）. （2） a>0, b>0, a≠b, ∴a+b>0, (a-b)2>0, ∴， ∴. 总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。 举一反三： 【变式1】证明下列不等式： (1)a2+b2+2≥2(a+b) (2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) (3)a2+b2≥ab+a+b-1 【答案】 （1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴a2+b2+2≥2(a+b) （2）证法同（1） （3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1 【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且 a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 【答案】 ax2+by2-(ax+by)2 =ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2 2、用作商比较法证明下列不等式： （1） (a，b 均为正实数，且 a≠b) （2）（a，b，c∈，且 a，b，c 互不相等） 证明： （1） a3+b3>0, a2b+ab2>0. ∴， a, b 为不等正数，∴，∴ ∴ （2）证明： 不妨设 a>b>c，则 ∴ 所以， 总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于 1 或等于 1 或小于 1 结论。 举一反三： 【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2 ∴ ∴ ∴ 【变式2】已知a，b 均为正实数，求证：aabb≥abba 【答案】 a>0, b>0, ∴ aabb 与 abba 均为正， ∴， 分类讨论可知（分 a>b>0, a=b>0, 06abc 证明： 法一：由 b2+c2≥2bc, a>0,得 a(b2+c2)≥2abc， 同理 b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc a,b,c 不全相等，∴上述三个等号不同时成立， 三式相加有：a(b...