与三角形有关的向量问题

与三角形有关的向量问题 三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。 一、 三角形基本问题 例1. 如图 ABC 中，AB = c，BC= a，CA = b， 则下列推导不正确的是…（D） A．若 a b < 0，则△ABC 为钝角三角形。 B．若 a b = 0，则△ABC 为直角三角形。 C．若 a b = bc，则△ABC 为等腰三角形。 D．若 c(a + b + c) = 0，则△ABC 为正三角形。 解：A．ab = |a||b|cos < 0，则cos < 0，为钝角 B．显然成立 C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即 a、c 在b 上的投影相等 D． a + b + c = 0, ∴上式必为 0，∴不能说明△ABC 为正三角形 例2. 如图：已知 MN 是△ABC 的中位线， 求证：MN= 21 BC, 且 MN∥BC 证： MN 是△ABC 的中位线， ∴ABAM21, ACAN21 ∴BCABACABACAMANMN21)(212121 ∴MN= 21 BC, 且 MN∥BC 例 3. 已知：平面上三点 O、A、B 不共线，求证：平面上任一点 C 与A、B 共线的充要条件是存在实数λ 和μ，使OC =λ OA+ μOB ，且λ + μ = 1。 证：必要性：设 A,B,C 三点共线，则可设 AC = tAB (tR) 则OC =OA+ AC =OA+ tAB=OA+ t(OB OA) = (1t)OA+ tOB 令 1t =λ ，t = μ，则有：OC =λ OA+ μOB ，且λ + μ = 1 充分性： AC =OC OA=λ OA+ μOB OA= (λ 1)OA+ μOB = μOA+ μOB = μ(OB OA) = μ AB ∴三点A、B、C 共线 例4.（04 浙江） 已知平面上三点CBA,,满足3AB，4BC，5CA，则 ABCACABCBCAB的值等于 一般地对于 ABC 的结论是 A B C N M 例 . 某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。 解：设a 表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为a，设实际风速为v， 那么此时人感到的风速为v  a，设OA= a，OB = 2a PO+OA= PA ∴ PA= v  a，这就是感到由正北方向 吹来的风速， PO+OB = PB ∴ PB= v 2a，于是当此人的速度是原来的2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB，由题意：PBO = 45, PABO, BA = AO 从而，△POB 为等...