[编 辑 本 段 ]定 理 叙 述 （ 代 数 学 基 本 定 理 ） 任 何 复 系 数 一 元n 次 多 项 式 方 程 在 复 数 域 上 至 少 有 一 根 (n≥ 1) 由 此 推 出 ,n 次 复 系 数 多 项 式 方 程 在 复 数 域 内 有 且 只 有 n 个 根 （ 重 根 按 重 数 计 算 ） . [编 辑 本 段 ]定 理 证 明 的 历 史 代 数 基 本 定 理 在 代 数 乃 至 整 个 数 学 中 起 着 基 础 作 用 。 据 说 ， 关 于 代 数 学 基 本 定 理 的 证明 ， 现 有 200 多 种 证 法 。 迄 今 为 止 ， 该 定 理 尚 无 纯 代 数 方 法 的 证 明 。 大 数 学 家 J.P. 塞 尔 曾 经 指 出 ： 代 数基 本 定 理 的 所 有 证 明 本 质 上 都 是 拓 扑 的 。 他 在 数 学 名 著 《 从 微 分 观 点 看 拓 扑 》 一 书 中 给 了 一 个 几 何 直 观的 证 明 ， 但 是 其 中 用 到 了 和 临 界 点 测 度 有 关 的 sard 定 理 。 复 变 函 数 论 中 ， 对 代 数 基 本 定 理 的 证 明 是 相 当优 美 的 ， 其 中 用 到 了 很 多 经 典 的 复 变 函 数 的 理 论 结 果 。 该 定 理 的 第 一 个 证 明 是 法 国 数 学 家 达朗贝尔给 出 的 ， 但 证 明 不完整 。 接着 ， 欧拉也给 出 了 一 个 证 明 ， 但 也有 缺陷， 拉格朗日于 1772 年又重 新证 明 了该 定 理 ， 后经 高 斯分 析， 证 明 仍然很 不严格的 。 代 数 基 本 定 理 的 第 一 个 严格证 明 通常认为 是 高斯给 出的 (1799 年在 哥 廷根 大 学 的 博士论 文)， 基 本 思想如下： 设f(z)为n 次 实系 数 多 项 式 ， 记z=x+yi(x、y∈R)， 考虑方 根 ： ? f(x+yi)=u(x、y)+v(x、y)i=0? 即 u(x、y)=0 与 v(x、y)=0? 这里 u(x、y)=0 与v(x、y) =0 分 别表示 oxy 坐标平面上 的 两条曲线 C1、C2， 于 是 通过对 曲线作 定 性的 研究， 他 证 明 了这两条曲线必有 一 个 交点 z0=a+bi， 从 而得出 u(a、b)=v(a、b)=0， 即 f(a+bi)=0， 因此 z0 便是 方 程 f(z)=0 的一 个 根 ， 这个 论 证 ...
