作业基本不等式及应用

第 1 页 共 1 页 基本不等式及应用 一、选择题 1．(2011 年杭州市第二次教学质量检测)若正实数a，b 满足a＋b＝1，则( ) A.1a＋1b有最大值为4 B．ab 有最小值14 C. a＋b有最大值2 D．a2＋b2 有最小值22 解析：由基本不等式，得ab≤a2＋b22＝a＋b2－2ab2，所以ab≤14，故B 错；1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，故A 错；由基本不等式得a＋b2≤ a＋b2 ＝ 12，即a＋b≤2，故C 正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×14＝12，故D 错，故选C. 答案：C 2．已知 x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值是( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：y＝2x＋12x－1＝－[(1－2x)＋11－2x]＋1，由x<12可得1－2x>0，根据基本不等式可得(1－2x)＋11－2x≥2，当且仅当1－2x＝11－2x，即x＝0 时取等号，取ymax＝－1. 答案：C 3．在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是( ) A．y＝x＋1x B．y＝cosx＋1cosx(00 时，y≥2，x<0 时，y≤－2； 选项B 中，cosx≠1，故最小值不等于2； 选项C 中，x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2 ＝x2＋2＋1x2＋2， 当x＝0 时，ymin＝3 22 . 答案：D 4．(2010 年重庆高考)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y 的最小值是( ) A．3 B．4 C.92 D.112 解析： x＋2y＋2xy＝8， 第 2 页 共 2 页 ∴(x＋2y)＋(x＋2y2)2≥8，解得 x＋2y≥4. ∴x＋2y 的最小值为 4. 答案：B 5．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 截得的弦长为4，则1a＋4b的最小值是( ) A．5 B．6 C．8 D．9 解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，其半径为 2. 因为直线 2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)截圆所得的弦长为 4，恰好是圆的直径， 故该直线经过圆心(－1,2)，所以 a＋b＝1. 于是，1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b)＝5＋ba＋4ab ≥9，当且仅当ba＝4ab ，即 b＝2a 时等号成立． 答案：D 6．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则xzy2的( ) A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为18 D．最大值为18 解析：xzy2＝xzx＋2z2＝xzx2＋4xz＋4z2＝1xz＋4zx ＋4≤18. 答案：D 二、填空题 7．若正数a、b 满足1a＋4b＝2，则a＋b 的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析：由1a＋4b＝2，得 12a＋2b＝1， a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)( 12a＋2b) ＝12＋2＋ b2a＋2ab ≥12＋2＋2＝92. 答案：92 8...