偏微分方程数值解例题答案

二、改进的 Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Eu ler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(yxf的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Eu ler 公式求得一个初步的近似值1ny,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1ny,即将1ny校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1nnnnyxhfyy 校正: )].,(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,),(,),1 ().2pnnncnnpnpcyyhf xyyyhf xyyyy 例 1 取步长0.1h ，分别用 Eu ler 方法及改进的 Eu ler 方法求解初值问题 d(1),01,d(0)1.yyxyxxy  解 这 个 初 值 问 题 的准 确 解 为( )1 (21)xy xex. 根 据 题 设 知).1(),(xyyyxf (1) Eu ler 方法的计算式为 )],1([1.01nnnnnyxyyy 由1)0(0 yy, 得 ,9.0)]101(1[1.011y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02y 这样继续计算下去，其结果列于表 9.1. (2) 改进的Eu ler 方法的计算式为 110.1 [(1)],0.1 [(1)],1 (),2pnnnncnpnpnpcyyyx yyyyxyyyy 由1)0(0 yy，得 11 0.1 [1 (10 1)]0.9,1 0.1 [0.9 (10.10.9)]0.9019,1 (0.90.9019)0.900952pcyyy    20.900950.1 [0.90095 (10.10.90095)]0.80274,0.900950.1 [0.80274 (10.20.80274)]0.80779,1 (0.802740.80779)0.805262pcyyy 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Eu ler 方法 改进的Eu ler 方法 准确值 nx ny ny )(nxy 0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0....