傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系 以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一 下二者的区别。 前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者 要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有 此外，傅里叶级数的系数X(kΩ2。)是离散的，而傅里叶变换x (jn)是 Ω 的连续函数。 由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。 X(kΩ。)代表了周期信号 x (t)的第 k 次谐波幅度的大小，而 x (js2)是频谱密度的概念 为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。由 Ω。= 2π/T 可知，若 T→∞则必有 Ω。→o，kΩ。→Ω，将(3．1．3)式两边同乘以T，并取 T→∞时 的极限，可得 该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为 Ω。的冲激序列(Drac 函数) 所组成，这些冲激序列的强度等于相应的傅里叶系数乘以2兀。这样的离散频谱又称为 “线谱”。由冲激函数的定义和频谱密度的物理概念可知，周期信号的频谱应理解为在无 穷小的频率范围内取得了一个“无限大”的频谱密度。无限大是从冲激函数的角度来理解 的。冲激函数的强度为2zcX(kf2。)，单纯地从 X(kf2。)来理解，它无密度的概念，它代表了 在 kf2。处的谐波的大小。 由此可以看出，本不具备傅里叶变换条件的周期信号，在引入了冲激信号后也可以作 傅里叶变换。当然，变换的结果也应从冲激信号的角度来理解。这样，由(3．1．18)式，我 们可以把傅里叶级数和傅里叶变换统一在一个理论框架下来进行讨论，并建立起二者的 联系。 由上述的讨论，我们不难得出如下的结论：时域连续的周期信号的傅里叶变换在频域 是离散的、非周期的。 当周期信号的周期 T 趋于无穷大时，|由(3．1．18)式给出的离散频谱将变成连续谱， 它对应的是周期信号的一个周期的傅里叶变换，但由于周期为无穷大，因此，它对应的实 际上是(3．1．7)式的非周期信号的傅里叶变换。由此我们可得出另一个结论：时域连续的 非周期信号的傅里叶变换在频域上是连续的、非周期的。 读者在有关“信号与系统”的教科书(例如，参考文献 E2，8，13])中都可看到有关连续 时间信号傅里叶变换与傅里叶级数的详述，本书不再对此作进一步的讨论。下面仅给出 几个常用周期信号傅里叶变换的例子。 3 .2 .1 从傅里叶级数到傅里叶变...
