傅里叶变换分析信号的缺点 基于傅里叶(Fourier)变换的信号频域表示,揭示了时间函数和频谱函数之间的内在联系,在传统的平稳信号分析和处理中发挥了极其重要的作用,很多理论研究和应用研究都把傅里叶变换当作最基本的经典工具来使用.但是傅里叶变换存在着严重的缺点:用傅里叶变换的方法提取信号频谱时,需要利用信号的全部时域信息,这是一种整体变换,缺少时域定位功能,因此必须对其加以改进. 傅里叶变换的特点及其局限性 设函数 f(t)在(-∞,+∞)内有定义,且使广义积分 F ω = ᵅ ᵆ ᵅ−ᵅᵱᵆ+∞−∞ᵅᵆ (1) f t = 12ᵰ ᵃ ᵱ ᵅᵅᵱᵆ ᵅᵱ+∞−∞ (2) 都收敛,则称(1)式定义的广义积分为函数 f(t)的傅里叶变换,记为F{f(t)},(2)式定义的广义积分为逆傅里叶变换,记为F−1{F(ω)}。傅里叶变换可以完成从时域到频域的转换(正变换),也可以完成从频域到时域的转换(逆变换),但不能同时具有时域和频域信息。其核函数是ᵅᵅᵱᵆ ,由于三角函数具有填满整个空间的特性,其在物理空间中是双向无限延伸的正弦波,在积分变换中体现为积分范围从+∞到-∞。因此,傅里叶变换是先天的非局限性,它对信号 f(t)中体现任何局部信息处理都是相同的。而事实上,工程技术中的许多信号,如:语音信号、地震信号、心电图和各种电脉冲,他们的信号值只出现在一个短暂的时间间隔∆t 内,以后快速减为零,∆t 以外是未知的,可能为零,也可能是背景噪音,如果用(1)式从信号中提取谱信号F(ω),就要取无限的时间量,使用过去的及将来的信号只为计算单个频谱,不能反映出随时间变化的频率,实际上我们需要的是确定的某个时间间隔内的频谱。这就使人们想到改进傅里叶变换使其能用来处理某个确定时间范围内的信号。Gabor 提出的窗口傅里叶变换就是一个有效的方法。 另外,傅里叶变换之所得到广泛应用与透镜能实现傅里叶变换是分不开的。由公式 Uᵅ ᵆᵅ,ᵆᵅ =ᵃᵅ−ᵅᵅᵅ 1−ᵅ0ᵅ ᵆᵅ2+ᵆᵅ2 ᵅᵆᵅᵆ0(ᵆ0,ᵆ0)ᵅ−ᵅ2ᵰᵆᵅ(ᵆ0+ᵆ0)ᵅᵆ0ᵅᵆ0 其中物平面为(x0,y0),焦平面为(xᵅ,yᵅ),d0 为物距,d1 为象平面。要使Uᵅ ᵆᵅ,ᵆᵅ =F{t0(x0,y0)},即准确实现傅里叶光学变换,只有在,d1=,d0=f时才能实现,否则将出现位相弯曲。并且,只有正透镜才能实现傅里叶变换,这些限制给工程技术中无疑增加了困难。这使得人们不得不寻求新得的方法,分数傅立叶变换不要求严频谱面,可根据需要在既包含空域信息也包括空频域信息的平面上进行处理,这使光学信息处理更具灵活性...
