傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数  tf满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即  dtetfjFtj (正变换) (5.1)   dejFtftj 21 (反变换) (5.2) 但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号  tU，斜变信号 ttU，单边正弦信号 ttUsin等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。 还有一些信号，例如单边增长的指数信号 tUeat0a等，则根本就不存在傅里叶变换。 另外，在求傅里叶反变换时，需要求 从到 区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。 利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。 由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。 实际上，信号  tf总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号  tf接入系统的时刻作为0t的时刻(称为起始时刻)，那么，在 t＜0 的时间内即有  tf=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为  dtetfjFtj0 (5-3) 式(5-3)中的积分下限取为0，是考虑到在0t的时刻 tf中有可能包含有冲激函数 t。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是 )，不过此时要在公式后面标以 t＞0，意即只有在 t＞0 时  tf才有定义，即   dejFtftj 21 t＞0 (5-4a) 或用单位阶跃函数  tU加以限制而写成下式，即   tUdejFtftj21 (5-4b) 二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 当函数  tf不满足绝对可积条件时，可采取给  tf乘以因子te （ 为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数  tetf。今若能根据函数  tf的具体性质，恰当地选取 的值，从而使当t时，函数  0 tetf，即满足条件  0limttetf 则函数  tetf即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子te...