傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识 1. 傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1 周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号( )x t 只要满足狄利克雷（dirichlet）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1.1.1 狄利克雷（dirichlet）条件 狄利克雷（dirichlet）条件为： （1）信号( )x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）； （2）信号( )x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值； （3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2( )dtTTx t应为有限值。 1.1.2 间断点 在非连续函数( )yf x中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点）： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/yxx在点0x 处等情况）。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 0001( )(cossin)nnnx taantbnt 式中：0a 为信号的常值分量；na 为信号的余弦信号幅值；nb 为信号的正弦信号幅值。 0a 、na 、nb 分别表示为： 000000/20/20/20/20/20/201( )2( )cos2( )sinTTTnTTnTax t dtTax tntdtTbx tntdtT 式中：0T 为信号的周期；0 为信号的基频，即角频率，002/ T，1,2,3...n 。 合并同频项也可表示为 001( )cos()nnnx taAnt 式中：信号的幅值nA 和初相位n 分别为 22arctan(/)nnnnnnAabba 1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是nA（或nAf）和n（或nf ）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值nA 随（或f ）的变化关系，用nA（或nAf）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n 随 （或f ）的变化关系，用n（或nf ）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行...