傅 里 叶 级 数 的 数 学 推 导 首 先 ， 隆 重 推 出 傅 里 叶 级 数 的 公 式 ， 不 过 这 个 东 西 属 于 “文 物 ” 级 别 的 ， 诞 生 于19 世 纪初 ， 因 为 傅 里 叶 他 老 人 家 生 于 1768 年 ， 死 于 1830 年 。 但 傅 里 叶 级 数 在 数 论 、 组 合 数 学 、 信 号 处 理 、 概 率 论 、 统 计 学 、 密 码 学 、 声 学 、 光 学 等领 域 都 有 着 广 泛 的 应 用 ， 这 不 由 得 让 人 肃 然 起 敬 。 一 打 开 《 信 号 与 系 统 》、《 锁 相 环 原 理 》 等书 籍 ， 动 不 动 就 跳 出 一 个 “傅 里 叶 级 数 ” 或 “傅 里 叶 变 换 ” ， 弄 一 长 串 公 式 ， 让 人 云 山 雾 罩 。 如 下 就 是 傅 里 叶 级 数 的 公 式 ： 不 客 气 地 说 ，这 个 公 式 可 以 说 是 像 “臭 婆 娘 的 裹 脚 布 ——又 臭 又 长 ” ，而 且 来 历 相 当 蹊 跷 ，不 知那个 傅 里 叶 什么时候灵光 乍现， 把一 个 周期函数 f(t)硬生 生 地 写成这 么一 大堆东 西 。 单看那个 ①式 ， 就 是 把周期函数f(t)描述成一 个 常数 系 数a0、 及1 倍ω 的sin 和cos 函数 、 2倍ω 的 sin 和cos 函数 等 、 到n 倍ω 的 sin 和cos 函数 等 一 系 列式 子的 和， 且 每项都 有 不 同的 系 数 ， 即An 和Bn， 至 于 这 些 系 数 ， 需 要 用 积 分 来 解 得 ， 即 ② ③ ④ 式 ， 不 过 为 了 积 分 方便 ， 积 分 区 间 一 般 设 为 [-π, π]， 也 相 当 一 个 周期T 的 宽 度 。 能 否 从 数 学 的 角 度 推 导 出 此 公 式 ， 以 使 傅 里 叶 级 数 来 得 明 白 些 ， 让 我 等 能 了 解 它 的 前 世今 生 呢 ？ 下 面 来 详 细 解 释 一 下 此 公 式 的 得 出 过 程 ： １ 、 把一 个 周期函数 表 示 成三 角 级 数 ： 首 先 ， 周期函数 是 客 观 世 界 中 周期运 动 的 数 学 表 述， 如 物 体 挂 在 弹 簧 上 作 简 谐 振 动 、 单摆 振 动 、 无 线 电 电 子...
