傅里叶级数课程及习题讲解

第15 章 傅里叶级数 § 15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1( )nnnf xa x，可视为( )f x 经函数系 21, , , , , nx xx 线性表出而得．不妨称2{1, ,,,,}nx xx为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , , cos, sin, xxxxnxnx称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以 2 为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[, ] 上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[, ] 可积的函数系( ) [ , ], 1,2, nuxxa bn:，定义两个函数的内积为 ( ),( )( )( )dbnmnmaux uxuxuxx， 如果0 ( ),( ) 0 nmlmnux uxmn ，则称函数系( ) [ , ], 1,2, nuxxa bn:为正交系． 由于 1, sin1 sind1 cosd0nxnx xnx x； sin, sinsinsind0 mnmxnxmxnx xmn ； cos, coscoscosd0 mnmxnxmxnx xmn ； sin, cossincosd0mxnxmxnx x； 2 1, 11 d2x， 所以三角函数系在, 上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 01cossin2nnnaanxbnx 称为三角级数，其中011,,,,,,nna a ba b为常数 2 以 2 为周期的傅里叶级数 定义 1 设函数( )f x 在, 上可积， 11( ),cos( )cosdkaf xkxf xkx x  0,1,2,k ； 11( ),sin( )sindkbf xkxf xkx x  1,2,k ， 称为函数( )f x 的傅里叶系数，而三角级数 01cossin2nnnaanxbnx 称为( )f x 的傅里叶级数，记作 ( )f x ～01cossin2nnnaanxbnx． 这里之所以不用等号，是因为函数( )f x 按定义1 所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于( )f x ． 二、傅里叶级数收敛定理 定理 1 若以2 为周期的函数( )f x 在[, ] 上按段光滑，则 01(0)(0)cossin22nnnaf xf xanxbnx， 其中,nna b 为( )f x 的傅里叶系数． 定义 2 如果( )[ , ]fxC a b...