充分条件与必要条件点拨

学科：数学 教学内容：充分条件与必要条件 【基础知识精讲】 1.对充要条件的理解 对于命题“若p 则 q”，即p 是条件，q 为结论. (1)如果已知p  q，我们就说p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成 x=y x2=y2 “ x=y”是“x2=y2”的充分条件， “ x2=y2”是“x=y”的必要条件. (2)如果既有p  q，又有q p，就记作 p  q. 这时，p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件. 例如，命题p： x+2 是无理数， 命题q： x 是无理数. 由于“x+2 是无理数” “ x 是无理数”，所以p 是 q 的充要条件. 2.从逻辑推理关系上看 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p 和结论 q 之间的下列关系： ①若p  q，但qp，则p 是 q 的充分但不必要条件； ②若q  p，但pq，则p 是 q 的必要但不充分条件； ③若p  q，且q p，则p 是 q 的充要条件； ④若p  q，且┒p  ┒ q，则p 是 q 的充要条件； ⑤若pp，且qp，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 3.从集合与集合之间关系上看 若条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则 ①若A  B，则p 是 q 的充分条件； ②若A  B，则p 是 q 的必要条件； ③若A＝ B，则p 是 q 的充要条件； ④若A B，且AB，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解. 4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题. (1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点： ①确定条件是什么，结论是什么； ②尝试从条件推结论，结论推条件； ③确立条件是结论的什么条件； ④要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性. (2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语. 在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“„„反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的. 【重点难点解...