2024年全国高中数学联赛试题及答案

yxOPAB精品文档---下载后可任意编辑一 试一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1．设集合A={a1,a2,a3,a4}，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={−1,3,5,8}，则集合．2．函数f ( x)=√x2+1x−1 的值域为．3．设为正实数，1a + 1b ≤2√2，(a−b)2=4(ab)3，则log ab=．4．假如cos5θ−sin5θ<7(sin3θ−cos3θ)，θ∈[0,2 π)，那么的取值范围是．5．现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体 ABCD 中，已知∠ ADB=∠ BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为．7．直线x−2 y−1=0与抛物线y2=4 x 交于 A,B 两点，C 为抛物线上的一点，∠ ACB=90° ，则点的坐标为．8．已知an= C200n ⋅(3√6)200−n⋅(1√2)n(n=1,2,⋯,95)，则数列{an}中整数项的个数为．二、解答题（本大题共 3 小题，共 56 分）9．（16 分）设函数f (x)=|lg(x+1)|，实数a,b(a0，试比较与的大小．11．（本小题满分 20 分）作斜率为13 的直线与椭圆：x236 + y24 =1交于A,B 两点（如图所示），且P(3√2,√2)在直线的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若∠ APB=60°，求△PAB 的面积．解 答1．. 提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以3( a1+a2+a3+a4)=(−1)+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5，于是集合的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合A={−3,0,2,6}．2．. 提示：设x=tan θ,−π2 <θ< π2 ，且θ≠ π4 ，则f ( x)=1cosθtan θ−1 =1sinθ−cosθ =1√2sin(θ− π4 )．设u=√2sin(θ−π4 )，则−√2≤u<1 ，且u≠0，所以 f (x)=1u ∈(−∞,−√22 ]∪(1,+∞)．3．-1. 提示：由1a + 1b ≤2√2，得a+b≤2√2ab．又 (a+b)2=4ab+(a−b)2=4ab+4(ab)3≥4⋅2√ab⋅(ab)3=8(ab)2，即 a+b≥2√2ab． ①于是 a+b=2√2ab． ②再由不等式①中等号成立的条件，得ab=1．与②联立解得{a=√2−1,b=√2+1, 或{a=√2+1,b=√...