全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5 分） 1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(16/15，其中区域 D 由直线1 yx与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令vxuyx,，则vuyvx ,，vuvuyxdddd1110detdd， vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()( 1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu 102d1uuu （*） 令ut1，则21tu dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu， 0142d)21(2(*)ttt 1042d)21(2ttt1516513221053ttt 2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf, 则)(xf____________. 解: 令20d)(xxfA，则23)(2Axxf， AAxAxA24)2(28d)23(202 , 解得34A。因此3103)(2  xxf。 3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________. 解: 因平面022zyx的法向量为 )1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00 yx处的法向量为)1),,(),,((0000yxzyxzyx，故)1),,(),,((0000yxzyxzyx与 )1,2,2(平行，因此，由xzx ， yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx， 即1,200yx，又5)1,2(),(00 zyxz，于是曲面022zyx在)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面 2222yxz平行平面 022zyx的切平面方程是0122zyx。 4．设函数 )(xyy 由方程29ln)(yyfexe确定，其中f 具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________. 解: 方程29ln)(yyfexe的两边对x 求导，得 29ln)()()(yeeyyfxeyyfyf 因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即))(1(1yfxy，因此 2222)](1[)())(1(1ddyfxyyfyfxyxy 322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(yfxyfyfyfxyfxyf 二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n 是给定的正整数. 解 :因 xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020 故 nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx...