半角模型专题专练

半角模型例题 已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC、DC 于点E、F，且∠EAF﹦45° 结论 1：BE﹢DF﹦EF 结论 2：S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF 结论 3：AH﹦AD 结论 4：△CEF 的周长﹦2 倍的正方形边长﹦2AB 结论 5：当 BE﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论 6：BM2﹢DN2﹦MN2 结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论 8：EA、FA 是△CEF 的外角平分线 结论 9：四点共圆 结论 10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11：MN﹦√ 22 EF（可由相似得到） 结论 12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到） 结论 5 的证明： 设正方形ABCD 的边长为 1 则 S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3 ﹦1﹣12 x﹣12 y﹣12 (1﹣x)(1﹣y) ﹦12 ﹣12 xy 所以当 x﹦y 时，△AEF 的面积最小 结论 6 的证明： 将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合 ∴DN﹦BN′ 易证△AMN≌△AMN′ ∴MN﹦MN′ 在 Rt△BMN′中，由勾股定理可得： BM2﹢BN′2﹦MN′2 即 BM2﹢DN2﹦MN2 结论 7 的所有相似三角形： △AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE 结论8 的证明： 因为△AMN∽△AFE ∴∠3＝∠2 因为△AMN∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2 结论9 的证明： 因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角） 同理可证C、E、N、F 四点共圆 A、M、F、D 四点共圆 C、E、M、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上，且45EAF， AE 、 AF 分别交 BD 于 H 、G ，连 EF . 一、全等关系 （1）求证：①EFBEDF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③ AE 平分BEF， AF 平分DFE. 二、相似关系 （2）求证：①DGCE2；②BHCF2；③HGEF2. （3）求证：④DHBGAB2；⑤HGBGAG2；⑥21 CFDFCEBE. 三、垂直关系 （4）求证：①EGAG ；②FHAH ；③BEABHCF tan. （5)、和差关系 求证：①BEDGBG2；②DHDFAD2； ③||2||DGBHDFBE. 例1、在正方形ABCD 中，已知∠MAN﹦45°，若 M、N 分别在边CB、DC 的延长线上移动， ①.试探究线段 MN、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH. 例2、在四边形ABCD 中，∠B+∠D﹦180°，AB=A...