华中科技大学微积分极限习题课及答案

例1 求极限 （1）nn2cos2cos2coslim2， 解 0时，极限为1； 0时（n 充分大时，02sinn），原式sin2sin2sinlimnnn。 （2）nnnn)111(lim2 解 先求 1)11(lim)111ln(lim22nnnnnnnn， 所以原式=e 另法 利用111111112nnnn （3）xxx1lim0 解 因为1111xxx，即有xxx1111 当0x时，111xxx，由夹挤准则得11lim0xxx， 同理11lim0xxx，故原极限为1。 （4）xxxcoslim0 解 先求21)1(cos1limcosln1lim00xxxxxx， 原极限为 2/1e。 （5）exexexexlim. 解 原式exeeexeeexxexeexxex1limlimlnln )lnlimlnlnlim(lnlimexexeexxexxeexexxeexexeexe ee2 （6）2303cos2coscos1limxx•xxx. 解 分子为)3cosln312cosln21cosexp(ln1xxx ~)3cosln312cosln21cos(lnxxx, 原式22203cosln312cosln21coslnlimxxxxxxx 222013cos3112cos211coslimxxxxxxx  332121. 练习（1）)sin(tanlimnxnxnnn （答案321 x ） （2）xxeexxeexsinlimsin0 （答案e ） （3）20cos2coscos1limxnxxxnx （答案)1(41nn） （4）xxxxesin10)(lim2  （答案1e） （5）1311()1()1)(1(limnnxxxxx） （答案!1n ） （6）)sin1sinlimxxx（ （提示和差化积，极限为0） （7）设)1,1(0•a，1,21211n••aann，求nnaaa21lim。 （提示：令,0,cos0a，则nna2cos 。） 例 2 设Rx 0，1,sin1 nxxnn，求nnxlim 解 考虑1,1sin1x，分三个情形： （1）若01 x，极限为0. （2）若01 x，则112sinxxx，易得1,sin11nxxxnnn，故数列单调递减有下界，极限存在。对1sinnnxx两边求极限得 llsin，从而0l。 （3）01 x时，同理求得0l。 综上极限为 0. 例 3 设babyax,0,011，且 )(21,11nnnnnnyx••yyxx 证明 nnxlimnny lim。 分析 问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均...