华罗庚学校数学教材(五年级下)第14讲递推方法

本系列共15 讲第十四讲递推方法.文档贡献者：与你的缘递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小的数是1，比 1 大 1 的数是2，接下来比 2 大 1 的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，…。在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n 个数为 an，则an＋1=an＋1即由自然数中第n 个数加上 1，就是第n＋1 个数。由此可得：an＋2=an＋1＋1这样就可以得到自然数数列中任何一个数。再看一个例子：例 1平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100 条直线最多能把圆的内部分成几部分解：假设用 ak 表示 k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数。这里k=0，1，2，…。如图可见a0=1a1= a0＋1=2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4= a3＋4=11…归纳出递推公式 an＋1=an＋n.(1)即画第 n＋1 条直线时，最多增加 n 部分。原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故 a1=2。当画第二条直线时，要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是 2，正好等于第二条直线的序号。同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点。两个交点把第三条直线在圆内部分成三条线段。而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域。因而增加的区域部分数是 3，正好等于第三条直线的序号，…。这个道理适用于任意多条直线的情形，所以递推公式（1）是正确的。这样就易求得 5 条直线最多把圆内分成：a5=a4+5=11+5=16（部分）要想求出100 条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面的公式了，可把上面的递推公式变形： an=an-1+n=an-2+(n-1)+n=an-3+(n-2)+(n-1)+n=…=1+1+2+…+n=1+(2)(1)2n n +∴a100=1+=5051（部分）100 1012×公式（2）也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式。一般来说，如果一个与自然数有关的数列中任一项an 可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻之间有递归关系，并称这种公式为递推公式或递推关系式。通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法。许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系，可以用递推公式来表达它的数量关系。如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一，常用的方法是“退”到问题最简单情况开始观察，逐步归...