本系列共14 讲第三讲最短路线问题.文档贡献者：与你的缘通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段。这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B 二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B 两点及地球球心 O 的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲。在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重 要 思 想 方 法 。例 1 如 下 图 ， 侦 察 员 骑 马 从 A 地 出 发 ， 去 B 地 取 情 报 ． 在 去 B 地 之 前需 要 先 饮 一 次 马 ， 如 果 途 中 没 有 重 要 障 碍 物 ， 那 么 侦 察 员 选 择 怎 样 的 路 线最 节 省 时 间 ， 请 你 在 图 中 标 出 来 。解 ： 要 选 择 最 节 省 时 间 的 路 线 就 是 要 选 择 最 短 路 线 。作 点 A 关 于 河 岸 的 对 称 点A′ ， 即 作AA′ 垂 直 于 河 岸 ， 与 河 岸 交 于 点C， 且 使 AC=A′ C， 连 接 A′ B 交 河 岸 于 一 点 P， 这 时P 点 就 是 饮 马 的 最 好 位置 ， 连 接PA， 此 时PA＋ PB 就 是 侦 察 员 应 选 择 的 最 短 路 线 。证 明 ： 设 河 岸 上 还 有 异 于 P 点 的 另 一 点 P′ ， 连 接 P′ A， P′ B，P′ A′ 。 P′ A+...
