华罗庚学校数学教材(六年级下)第05讲巧求面积

本系列共14 讲第五讲巧求面积.文档贡献者：与你的缘本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法，首先看一个例子．如图，BC=CE，AD=CD，求三角形ABC 的面积是三角形CDE 面积的几倍？解：连结BD，在△ABD 与△BCD 中，因为AD=DC，又因为这两个三角形的高是同一条高，所以S△ABD=S△BCD．在△BCD 与△DCE 中，因为BC=CE，又因为这两个三角形也具有同一条高，所以有S△BCD=S△CDE．因此，S△ABC=S△ABD+S△BCD=2S△CDE．从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系．因为三角形的面积=×底×高，作ＤＮ垂直ＣＥ于Ｎ，ＡＭ垂直ＣＥ12于Ｍ，如下图：，，12ABCSBCAM∆=××12CDESCEDN∆=××1212ABCCDEBCAMSBCAMSCEDNCEDN∆∆××==×××在△ACM 与△DCN 中，有AC∶CD=AM∶DN．因此，。ABCCDESBCACSCECD∆∆=×即，当两个三角形各有一个角，它们的和是 180°时，这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比．类似可知，当两个三角形各有一个角，它们相等时，这个结论也成立．解：在△ABC 与△CDE 中，因为 AD=DC，所以 AC=2CD，又因为 BC=CE，所以 S△ABC=2×1×S△CDE=2S△CDE．答：△ABC 的面积是△CDE 面积的 2 倍．下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子．例 1 如图，三角形 ABC 的面积为 1，并且 AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？解：在△BDE 与△ABC 中，∠DBE+∠ABC=180°．因为 AE=3AB，所以BE=2AB．又因为 BD=2BC，所以 S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4．答：△BDE 的面积是 4．例 2 如图，在△ABC 中，AB是 AD 的 6 倍，AC是 AE 的 3 倍．如果△ADE的面积等于 1 平方厘米，那么△ABC 的面积是多少？解：在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）．答：△ABC 的面积为18 平方厘米．例3 如图，将△ABC 的各边都延长一倍至A′、 B′、 C′，连接这些点，得到一个新的三角形 A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积．解：在△A′B′B 与△ABC 中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．同理 S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC=2+2+2+1=7答：△A′B′C′的面积为7．例4 如下图，将凸四边形 AB...