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华罗庚学校数学教材(六年级下)第07讲整数的分拆

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本系列共14 讲第七讲整数的分拆.文档贡献者:与你的缘整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n 分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…+nm(n1≥n2≥…≥nm≥1)的一种表示法,叫做 n 的一种分拆.对被加项及项数m 加以一些限制条件,就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪,就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742 年德国的哥德巴赫提出“每个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇质数的和”,这就是著名的哥德巴赫猜想,中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题,简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例 1 有多少种方法可以把6 表示为若干个自然数之和?解:根据分拆的项数分别讨论如下:①把6 分拆成一个自然数之和只有 1 种方式;②把6 分拆成两个自然数之和有 3 种方式6=5+1=4+2=3+3;③把6 分拆成3 个自然数之和有 3 种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2;④把6 分拆成4 个自然数之和有 2 种方式6=3+1+1+1=2+2+1+1;⑤把6 分拆成5 个自然数之和只有 1 种方式6=2+1+1+1+1;⑥把6 分拆成6 个自然数之和只有1 种方式6=1+1+1+1+1+1.因此,把6 分拆成若干个自然数之和共有1+3+3+2+1+1=11 种不同的方法.说明:本例是不加限制条件的分拆,称为无限制分拆,它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994 表示为两个自然数之和?解法1:采用有限穷举法并考虑到加法交换律:1994=1993+1=1+1993=1992+2=2+1992=…=998+996=996+998=997+997因此,一共有997 种方法可以把1994 写成两个自然数之和.解法2:构造加法算式:于是,只须考虑从上式右边的1993 个加号“+”中每次确定一个,并把其前、后的1 分别相加,就可以得到一种分拆方法;再考虑到加法交换律,因此共有997 种不同的分拆方式.说明:应用本例的解法,可以得到一般性结论:把自然数n≥2 表示为两个自然数之和,一共有k 种不同的方式,其中例3 有多少种方法可以把100 表示为(有顺序的)3 个自然数之和?(例如,把3+5+92 与5+3+92 看作为100 的不同的表示法)分析本题仍可运用例1 的解法2 中的处理办法.解:构造加法算式于是,考虑从上式右边的99 个加号“+”中每次选定两个,并把它们所隔开的前、中、后三段的1 分别相加,就可以得到一种分拆方法。因此,把100 表示为3 个自然数之和有种不同的方式。199 9848512× × =说明:本例可以推广为一般性结论:“把自然数n≥3...

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