双曲线典型例题

习题精选精讲 - 1 - - 1 - 【例1】若椭圆0122 nmnymx与双曲线221xyab)0( ba有相同的焦点F1，F2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ） A. am  B. am 21 C. 22am  D. am  【解析】椭圆的长半轴为 1221mPFPFm， 双曲线的实半轴为 1222aPFPFa ，   2212121244PFPFmaPFPFma：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922 yx与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P，使 PMPF21最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的12 是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率2e  ， 右准线为32lx ：.作 MNl 于 N，交双曲线右支于P， 连 FP，则122PFe PNPNPNPF.此时 PM1375225PFPMPNMN为最小. 在127922 yx中，令3y ，得2122 3.xxx 0，取2 3x .所求 P 点的坐标为 2 3 3（，）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为xy21的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 2214xyk 点（1，3）代入：135944k  .代入（1）： 22223541443535xyxy 即为所求. 【评注】在双曲线22221xyab中，令222200xyxyabab即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222xykab，而无须考虑其实、虚 轴的位 置. XYOF(6,0)M(5,3)PNP′N′X= 32习题精选精讲 - 2 - - 2 - （3 ）共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄 将双曲线22221xyab的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：22221xyba.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用. 【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21 ,ee，证明：221211ee=1. 【证明】双曲线222...