双曲线的切线（11） 本文拟讨论由坐标平面内任意点，，引双曲线：＞，＞的切线，切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标．P(xy )C= 1(a0b0)(1)001xayb2222 不妨只考察P 在原点、P 在坐标轴正半轴上、P 在第一象限内的情形． 当P 在原点或P 在区域Ⅰ时，不存在切线；当P 在C1 或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P 在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3(不含 A、B)上时，有两条切线． 结论：①原点处无切线。 ②点在C3 上时一条切线 ③当P 在线段 AB 上时，Q 在C1 的右支上半支． ④当P 在线段 AB 的延长线上时，Q 在C1 的左支下半支． ⑤若点P在区域Ⅰ内, 过 P 不存在切线． ⑥若点P在曲线C1 上(异于点A), 切点即点P． ⑦若点P在曲线C2 上(异于点B), 若 P 在线段 OB 上，Q 在C1右支下半支． 若 P 在线段 OB 的延长线上， Q 在C1 右支上半支． ⑧若点P在区域Ⅱ内, Q1 在C1右支下半支，Q2 在C1右支上半支． ⑨若点P在区域Ⅲ内, Q1、Q2位于 C1同一支且在x 轴同侧． ⑩若点P在区域Ⅳ内, Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支． ⑪若点P在区域Ⅴ内, Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支． 如图所示，记的渐近线为∶－，的右顶点为，，直线∶CC= 0CA(a0)C1213xayb x=a；C3与 C2的交点为 B(a，b)；C1的内部(含焦点的部分)为区域Ⅰ；C1与 C2之间的部分，在C3左侧为区域Ⅱ，在C3右侧部分为区域Ⅲ；C2与 y 轴正半轴所夹的部分，在C3左侧为区域Ⅳ，在C3右侧为区域Ⅴ． 1 若 P在原点 方程组无实数解， xxayb012222 ∴ 直线x=0 不是C1的切线． 设过P(0，0)的直线l 的方程为y=kx，代入(1)消去y 得(b2－a2k2)x2＝a2b2， 当≥时，此方程无实根，所以与无公共点；当＜时，此方程有两相反|k|C|k|1babal 实根， ∴l 与C1有两个交点． 故过P 不存在C1的切线． 2 若过点P存在无斜率的切线 此时切线方程为，代入消去得－，此方程有两相等实x = x(1)xa y = b (xa0222022 ) 根的充要条件是－，即．xa = 0|x |= a0220 故点P 在C3上时，C3为C1的一条切线，切点为A． 3 若过点P存在有斜率的切线 设切线斜率为k，则切线方程为 y－y0=k(x－x0) (2) 将(2)代入(1)消去y 可得 (b2－a2k2)x2－2a2k(y0－kx0)x－a2[(y0－kx0)2＋b2]=0 (3) 方程(3)的判别式 Δ－－＋＋令－－＋＋= 4a b [(xa )k2x y k(yb )]f(k) = (xa )k2x y...
