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双曲线的切线(全面版)

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双曲线的切线(11) 本文拟讨论由坐标平面内任意点,,引双曲线:>,>的切线,切线的存在性、切线的条数、切线方程及切点坐标.P(xy )C= 1(a0b0)(1)001xayb2222 不妨只考察P 在原点、P 在坐标轴正半轴上、P 在第一象限内的情形. 当P 在原点或P 在区域Ⅰ时,不存在切线;当P 在C1 或C2(不含原点)上时,仅一条切线;当P 在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3(不含 A、B)上时,有两条切线. 结论:①原点处无切线。 ②点在C3 上时一条切线 ③当P 在线段 AB 上时,Q 在C1 的右支上半支. ④当P 在线段 AB 的延长线上时,Q 在C1 的左支下半支. ⑤若点P在区域Ⅰ内, 过 P 不存在切线. ⑥若点P在曲线C1 上(异于点A), 切点即点P. ⑦若点P在曲线C2 上(异于点B), 若 P 在线段 OB 上,Q 在C1右支下半支. 若 P 在线段 OB 的延长线上, Q 在C1 右支上半支. ⑧若点P在区域Ⅱ内, Q1 在C1右支下半支,Q2 在C1右支上半支. ⑨若点P在区域Ⅲ内, Q1、Q2位于 C1同一支且在x 轴同侧. ⑩若点P在区域Ⅳ内, Q1在C1的右支下半支,Q2在C1的左支下半支. ⑪若点P在区域Ⅴ内, Q1在C1左支下半支,Q2在C1的右支上半支. 如图所示,记的渐近线为∶-,的右顶点为,,直线∶CC= 0CA(a0)C1213xayb x=a;C3与 C2的交点为 B(a,b);C1的内部(含焦点的部分)为区域Ⅰ;C1与 C2之间的部分,在C3左侧为区域Ⅱ,在C3右侧部分为区域Ⅲ;C2与 y 轴正半轴所夹的部分,在C3左侧为区域Ⅳ,在C3右侧为区域Ⅴ. 1 若 P在原点 方程组无实数解, xxayb012222 ∴ 直线x=0 不是C1的切线. 设过P(0,0)的直线l 的方程为y=kx,代入(1)消去y 得(b2-a2k2)x2=a2b2, 当≥时,此方程无实根,所以与无公共点;当<时,此方程有两相反|k|C|k|1babal 实根, ∴l 与C1有两个交点. 故过P 不存在C1的切线. 2 若过点P存在无斜率的切线 此时切线方程为,代入消去得-,此方程有两相等实x = x(1)xa y = b (xa0222022 ) 根的充要条件是-,即.xa = 0|x |= a0220 故点P 在C3上时,C3为C1的一条切线,切点为A. 3 若过点P存在有斜率的切线 设切线斜率为k,则切线方程为 y-y0=k(x-x0) (2) 将(2)代入(1)消去y 可得 (b2-a2k2)x2-2a2k(y0-kx0)x-a2[(y0-kx0)2+b2]=0 (3) 方程(3)的判别式 Δ--++令--++= 4a b [(xa )k2x y k(yb )]f(k) = (xa )k2x y...

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