双曲线与方程 【知识梳理】 1、双曲线的定义 （1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长1222 ,0a F Fa a的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义. 【注】12122PFPFaF F，此时P 点轨迹为两条射线. （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1e e 的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质 标准方程 22221,0xya bab 22221,0yxa bab 顶点坐标 ,0Aa 0,Ba 焦点坐标 左焦点1,0Fc，右焦点2,0Fc 上焦点1 0,Fc ，下焦点2 0,Fc 虚轴与虚轴 实轴长2a 、虚轴长2b 实轴长2a 、虚轴长2b 有界性 xa ya， 对称性 关于x 轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称. 3、渐近线 双曲线22221,0xya bab的渐近线为22220xyab，即 0xyab，或byxa . 【注】 ①与双曲线22221xyab 具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220xyab ； ②渐近线为byxa 的双曲线方程可以设为22220xyab ； ③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线. ④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径 双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P xy为双曲线22221,0xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)F c为双曲线的左、右焦点，则10||PFexa，20||PFexa，其中cea. 5、通径 过双曲线22221,0xya bab焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22bABa. 6、焦点三角形 P 为双曲线22221,0xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)F c为双曲线的左右焦点，称12PF F为双曲线的焦点三角形.若12F PF，则焦点三角形的面积为：122 cot2F PFSb. 7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）. 8、双曲线22221,0xya bab的焦点三角形的内心的轨迹为0xa y 9、直线与双曲线的位置关系 直线 :0l...
