三对角矩阵 在线性代数中，一个三对角矩阵是矩阵的一种，它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说：一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵： 性质 三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 A 满足 ak,k+1 ak+1,k > 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ak,k+1 ak+1,k > 0 换为 ak,k+1 ak+1,k ≥ 0，结论仍然成立。 所有 n ³ n 三对角矩阵的集合组成一个 3n-2 维向量空间。 许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵 A 的行列式能用 continuant（Continuant）的递归公式计算： 这里 是第 k 个主子式，即 是由 A 最开始的 k 行 k 列组成的子矩阵。 用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 n ，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。 计算程序 一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多特征值算法运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。 一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如，LAPACK Fortran包将一个 n-维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列，其中一个长 n 包含对角元素，其它两个长为 n− 1 包含下对角线和上对角线元素。 三对角矩阵方程 ，能用一种需要 O(n)次操作的特殊的算法解出来（Golub and Van Loan）。 正交矩阵 概述 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。 要看出与内积的联系，考虑在 n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v。v的长度的平方是 vTv。如果矩阵形式为 Qv的线性变换保持了向量长度，则 。 所以有限维线性等距同构，比如旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的正交变换，它们没有等价的正交矩阵。 有多种原由使正交矩阵对理...
