向量与三角形四心结合(纯干货)

三角形的“四心”与向量的完美结合 知识概述： 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结 1）O 是 ABC的重心0OCOBOA; 若O 是 ABC的重心，则,31ABCAOBAOCBOCSSSS故;,0OCOBOA 1 ()3PGPAPBPC G 为 ABC的重心. 2）O 是 ABC的垂心OAOCOCOBOBOA; 若O 是 ABC(非直角三角形)的垂心， 则,tan:tan:tan::CBASSSAOBAOCBOC故0tantantanOCCOBBOAA 3）O 是 ABC的外心)(222OCOBOAOCOBOA或 若O 是 ABC的外心, 则CBAAOBAOCBOCSSSAOBAOCBOC2sin:2sin:2sinsin:sin:sin:: 故02sin2sin2sinOCCOBBOAA 4）O 是内心ABC的充要条件是 0)()()(CBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CABCAB,,的单位向量为321,,eee，则刚才O 是 ABC内心的充要条件可以写成0)()()(322131eeOCeeOBeeOA O 是 ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 若O 是 ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC:::: 故0sinsinsin0OCCOBBOAAOCcOBbOAa或; ||||||0AB PCBC PACA PBPABC的内心; 向量 ()(0)||||ACABABAC所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； 知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查 【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(ACACABABOAOP，,0则P 点的轨迹一定通过ABC的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 【解答】：因为ABAB是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21ee 和， 又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选B. 练习：在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|| 2OC ，则OC =_________________. 【解答】： 点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,) 使()|| ||OAOBOCOAOB=3 4(0,1)(, )5 5=39(,)55, 而|| 2OC ，可得103 ，∴10 3 10(,)55OC  . 【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()|| ||ABCAOAABCA=(||BAOBBA+||CBCB) =()|| ||BCCAOCBC...