向量法在立体几何中的应用

1 向量法在立体几何中的应用 宝泉岭高级中学 李鹏 近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。 一、用向量法处理空间角问题 1、用向量求两条异面直线所成的角 求异面直线nm, 所成的角，我们只需要分别在直线nm, 上取定方向向量,,ba则异面直线nm, 所成的角 等于向量ba,所成的角或其补角（如图 1 所示），即bababa,coscos  。 【例题】如图 2，底面 ABCD为直角梯形，90ABC，PB面ABCD，22CDBPBCBA，E 为 PD的中点。求异面直线 BD与PA所成角的大小 解：如图3建立空间直 角 坐标系xyzB ，则 有   0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0APDB 得2,2,0,0,1,2PABD，设异面直线 BD与PA 所成角的大小为 ，则 ，1010852,coscosPABDPABDPABD1010arccos，即异面直线 BD与PA 所成角的大小为1010arccos。 利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦 。题中通 过PABD,cos值 ，求出 两向量的夹角可能是 钝 角或直角或锐 角，因 异面直线所成的角的范 围 是2,0 ，故 加 绝对 值 ，便可直接求得所要求的角。 2、用向量求直线与平 面所成的角 Cn图1 DABnmabB C D P A x y z 图 3 B C D P A 图 2 B C D P A 图 5 2 如图4，求直线L 和平面  所成的角，只需在L 上取定CP ，n 是平面 的法向量，再求|||CP||CP|cosnn，则2为所求的角. 【例题】如图5 ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC，PB面ABCD ，22CDBPBCBA，E 为PD的中点，求直线CP 与面ADP所成角的大小； 解：如图6 ，建立空间直角坐标系xyzB ，则有   2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0PDCA， 故2,0,2CP2,1,2,2,2,0DPAP 设面ADP的一个法向量为zyxn,,1 ， 则有02202...