向量的概念与性质

一．向量的概念与性质 一．知识点 1．与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而| a |＞|b |才有意义. ⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量. ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件. ⑷单位向量是模为1 的向量，其坐标表示为（yx,）,其中x 、y 满足 2x2y ＝1（可用（cos ,sin ）（0≤ ≤2π）表示）. ⑸零向量0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题 ⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连) ①当两个向量a 和b 不共线时，ab 的方向与a 、b 都不相同，且|ab |＜| a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，ab 、a 、b 的方向都相同，且||ba||||ba ； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，ba 与 a 方向相同 ，且|ba |=| a |-|b |； 若|a |＜|b |时,ba 与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点） ⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量. 如，ABBC0CA,（在△ABC 中） CDBCAB0DA.(□ABCD 中) ⑷判定两向量共线的注意事项 如果两个非零向量a ，b ，使a =λb （λ∈R），那么a ∥b ； 反之，如a ∥b ，且b ≠0，那么a =λb . 这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0 时，与λb 的方向规定为平行. （4）向量的数乘运算的定义： 数乘运算模的大小为： （6）数量积的8 个重要性质（cosbaba） ①两向量的夹角为0≤ ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a 、b 都是非零向量，e是单位向量， 是a 与b 的夹角...