含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例 1 （2 0 0 8 年高考广东卷（理科） 设kR，函数1,11( ),( )( ),1 ,1xxf xF xf xkx xRxx ， 试讨论函数( )F x 的单调性。 解：2211,11,1,11( )( ),'( )1211,1,121kxxkx xxxF xf xkxF xkxxkx xxx  。 考虑导函数'( )0F x 是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。 （一）若1x  ，则2211'( )1kxF xx。由于当0k 时，'( )0F x 无实根，而当0k 时，'( )0F x 有实根， 因此，对参数k 分0k 和0k 两种情况讨论。 （1 ） 当0k 时，'( )0F x 在(,1 )上恒成立，所以函数( )F x 在(,1 )上为增函数； （2 ） 当0k 时，222111111'( )11kxxkxkkF xxx   。 由'( )0F x ，得12111,1xxkk，因为0k ，所以121xx 。 由'( )0F x ，得111xk；由'( )0F x ，得11xk 。 因此，当0k 时，函数( )F x 在1(,1)k上为减函数，在1(1,1 )k上为增函数。 （二）若1x ，则121'( )21kxF xx 。由于当0k 时，'( )0F x 无实根，而当0k 时，'( )0F x 有实根，因此，对参数k 分0k 和0k 两种情况讨论。 （1 ） 当0k 时，'( )0F x 在1, 上恒成立，所以函数( )F x 在1, 上为减函数； （2 ） 当0k 时，111212'( )211kxkxkF xxx  。 由'( )0F x ，得2114xk ；由'( )0F...