§1.4导数在实际生活中的应用第1课时（总第58教案）一、【教学目标】1、通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决设计问题中的作用；2、通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及建模能力的提高。二、【教学重点】如何建立数学模型来解决实际问题。三、【知识点】1、导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决；（求最值的又一新方法：导数）2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先认真读题，建立目标函数后，然后用导数求解。解题中应注意实际意义；3、解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化函数关系式，这需要通过分析，联想，抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值就是它的最值，切记，切记。四、【典型例题】例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底铁皮箱子，当箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？例2、某种圆柱形饮料罐的容积一定时，它的高与底底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？例3、在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E。当外电阻R多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？例题4、强度分别为的两个光源A,B间的距离为d，试问：在连结两光源的线段AB上，何处照度最小？试就时回答上述问题。（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）例5、在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）若C(x)＝，则生产多少单位产品时，边际成本最低？（2）如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？图1课外练习题1、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为。2、把100cm的铁丝围成矩形，当长为cm时矩形的面积最大；若将该铁丝分成两段，各围成正方形，当其中一段长为cm时，能使两个正方形的面积之和最小；又若将该铁丝分成两段，各围成正方形和圆，当其中较短的一段长为时，能使两面积和最小。3、做一个容积为256的方底无盖水箱，当它的高为m时材料最省。4、如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.5、有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段。为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与自身长的积，且车距不得小于半个车身长。而当车速为60时，车距为1.44个车身长。在交通繁忙时，应规定车速为Km/h时，可以使隧道的车流量最大。6、如左图，质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周运动，角速度为。设A（10,0）为起始点，则时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cm/s。7、如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离AB为50km，B,C间的距离为100km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h，登陆点选在何处，所用时间最少？8、某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元。已知该厂制造电子元件过程中，次品率P与日产量x的函数关系是：。（1）求该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数的关系式；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？9、请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图，试问当帐篷的顶点0到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？10、(1)求内接于半径为R的球且体积最大的圆柱高；(2)求内接于半径为R的球且体积最大的圆锥高．
