上海交通大学硕士研究生入学考

精品文档---下载后可任意编辑一、推断题（以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由）1、在连续的充分必要条件是对任意的闭区间，在上一致连续。解：正确，证明：因为在连续，有对任意的闭区间，在连续，所以在上一致连续；对任意的，存在，满足，由题设有在上一致连续，更有在上连续，即有在上连续，故在连续。2、在可导的充分必要条件在既有右可导又有右可导。解：错，例：，，，在处既有右可导又有右可导，但在处不可导。3、可积函数的复合函数也为可积函数。解：错，例，为黎曼函数，显然，在可积，但在不可积。4、若收敛，则收敛。解：错，例：，收敛，但发散。二、计算并证明下列各式1、。解：对任意的由积分中值定理存在使得，且，所以，即存在，当时，，故当时，，即。2、求函数的全微分。解：。3、设在上连续递增函数，则成立不等式。解：，由积分中值定理，存在使得，，又在上递增和，有，即。f x( )( , )a b[ ,]( , )a b  f x( )[ ,] f x( )( , )a b[ ,]( , )a b  f x( )[ ,] f x( )[ ,] 0( , )xa b12,( , )x xa b102xxxf x( )12[ ,]x xf x( )12[ ,]x xf x( )f x( )( , )a bf x( )f x( )2,0( ),0x xf xxx0( )(0)(0)lim1xf xffx 0( )(0)(0)lim0xf xffx f x( )0x f x( )0x 0,0( )1,0xf xx1 ,,( , )1( )0,qxp qppg xf x( ))(xg]1,0[1,( ( ))0,f g x]1,0[1nna1( 1)nnna1( 1)nnan 111( 1)nnnnan111( 1)nnnnan20limsinnnxdx 10,2222200022sinsinsinsinsinnnnnnxdxxdxxdxxdxxdx022200sin(sin)nnxdxdx0sin1sin0n  0N nNsinn nN20 sin(1)2n xdx20limsin0nnxdx yzux1lnlnyzyzyzduyzxdxx zxdyx yxdzf x( )[ , ]a b( )( )2bbaaabxf x dxf x dx( )( )() ( )22bbbaaaababxf x dxf x dxxf x dx22() ( )() ( )22a bba baababxf x dxxf x dx[ ,],[, ],22ababab2221() ( )( )()( )()2222a ba baaababbaxf...