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不定积分求解方法及技巧

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精品文档---下载后可任意编辑摘要:总结不定积分基本定义,性质和公式,求不定积分的几种基本方法和技巧,列举个别典型例子,运用技巧解题。一.不定积分的概念与性质定义 1 假如 F(x)是区间 I 上的可导函数,并且对任意的 xI,有F’(x)=f(x)dx 则称 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数。定理 1(原函数存在定理)假如函数 f(x)在区间 I 上连续,那么 f(x)在区间 I 上一定有原函数,即存在可导函数 F(x),使得 F(x)=f(x)(xI)简单的说就是,连续函数一定有原函数定理 2 设 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数,则(1)F(x)+C 也是 f(x)在区间 I 上的原函数,其中 C 是任意函数;(2)f(x)在 I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义 2 设 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数,那么 f(x)的全体原函数 F(x)+C 称为 f(x)在区间 I 上的不定积分,记为∫ f(x)d(x),即∫ f(x)d(x)=F(x)+C其中记号∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)d(x)称为被积表达式,x 称为积分变量,C 称为积分常数。性质 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数,则∫ [f(x)g(x)]dx=∫ f(x)dx∫ g(x)dx.性质 2 设函数 f(x)存在原函数,k 为非零常数,则∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx.二.换元积分法的定理假如不定积分∫ g(x)dx 不容易直接求出,但被积函数可分解为 g(x)=f[(x)]’(x).做变量代换 u=(x),并注意到‘(x)dx=d(x),则可将变量 x 的积分转化成变量 u 的积分,于是有∫ g(x)dx=∫ f[(x)] ’(x)dx=∫ f(u)du.假如∫ f(u)du 可以积出,则不定积分∫ g(x)dx 的计算问题就解决了,这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理 1 设 F(u)是 f(u)的一个原函数,u=(x)可导,则有换元公式∫ f[(x)] ’(x)dx=∫ f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换 u=(x),将积分∫ f[(x) ’(x)dx 化为∫ f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换,将积分∫ f(x)dx 化为∫ f[(t)] ’(t).在求出后一积分之后,再以 x=(t)的反函数t=(X)带回去,这就是第二类换元法。即∫ f(x)dx={∫ f[(t)] ’(t)dt}t=ϕ−1(X).为了保证上式成立,除被积函数应存在原函数之外,还应有原函数 t=(x)存在的条件,给出下面的定理。定理 2 设 x=(t)是单调,可导的函数,并且‘(t)0.又设 f[(t)] ’(t)具有原函数 F(t),则∫f...

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