不定积分求解方法及技巧

精品文档---下载后可任意编辑摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质定义 1 假如 F（x）是区间 I 上的可导函数，并且对任意的 xI，有F’(x)=f(x)dx 则称 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数。定理 1（原函数存在定理）假如函数 f(x)在区间 I 上连续，那么 f(x)在区间 I 上一定有原函数，即存在可导函数 F（x），使得 F（x）=f(x)（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理 2 设 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，则（1）F（x）+C 也是 f(x)在区间 I 上的原函数，其中 C 是任意函数；（2）f(x)在 I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义 2 设 F（x）是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 f(x)的全体原函数 F（x）+C 称为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记为∫ f(x)d(x),即∫ f(x)d(x)=F(x)+C其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。性质 1 设函数 f(x)和 g(x)存在原函数，则∫ [f(x)g(x)]dx=∫ f(x)dx∫ g(x)dx.性质 2 设函数 f(x)存在原函数，k 为非零常数，则∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx.二．换元积分法的定理假如不定积分∫ g(x)dx 不容易直接求出，但被积函数可分解为 g(x)=f[(x)]’(x).做变量代换 u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量 x 的积分转化成变量 u 的积分，于是有∫ g(x)dx=∫ f[(x)] ’(x)dx=∫ f(u)du.假如∫ f(u)du 可以积出，则不定积分∫ g(x)dx 的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理 1 设 F(u)是 f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式∫ f[(x)] ’(x)dx=∫ f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换 u=(x),将积分∫ f[(x) ’(x)dx 化为∫ f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分∫ f(x)dx 化为∫ f[(t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以 x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即∫ f(x)dx={∫ f[(t)] ’(t)dt}t=ϕ−1(X).为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数 t=（x）存在的条件，给出下面的定理。定理 2 设 x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设 f[(t)] ’(t)具有原函数 F（t）,则∫f...