第八章随机变量的数字特征 知识点梳理汇总VIP免费

第八章随机变量的数字特征随机变量的概率分布是对其概率性质的最完整的刻画；数字特征是刻画随机变量某方面性质的数值。引例1：三种品牌手表日走时误差（单位：秒），，分别有分布列，日平均误差0秒；，日平均误差+0.4秒；，日平均误差0秒。引例2：若，则（1）（2）（3）说明①以很大的概率在附近取值，刻画取值的大小。②小，则区间短，取值集中；大，则区间长，取值分散。§1.数学期望1.离散型随机变量的数学期望定义1.有分布律，则称数值为的数学期望，记作.设取个值，其中有个，个，个，则平均值取值的平均值稳定在例1：①有分布律；②若有分布律/*级数性质复习：级数有更序级数，①若收敛，则收敛，且；②若收敛，但发散，则可能不等于，也可能发散。*/定义2有分布律若级数收敛，则称级数的和为的数学期望，记作。否则称的数学期望不存在。数学期望不存在的例：记，（i=1，2，…），有分布律：，（），则不存在例2：，则证：练习：某种家电寿命（单位：年）有分布密度，采用先使用后付款方式，且规定时，付1500元；时，付2000元；时，付2500元；时，付3000元。求此种家电一台收费的数学期望。解：的分布律为，则（1）（2）（3）（4）2.连续型随机变量的数学期望定义：有分布密度，若收敛，则称为（或分布）的数学期望，记作。否则称的数学期望不存在。例1：在[0，1]上均匀分布，有分布密度存在，且一般的，若，则例2：有分布密度，收敛和都收敛其中=发散，不存在。例3：，则.证：可以验证收敛，存在。令，则.练习：服从指数分布，有分布密度，则3．随机变量函数的数学期望定理：（1）是一元函数，①有分布律。若收敛，则存在，且否则不存在。②有分布密度，若收敛，则存在且；否则不存在。（2）是二元函数，①有分布律(，若收敛，则存在，且；否则不存在。②有分布密度，若收敛，则存在，且；否则不存在。例1：有分布律，求。解：或=(-1)2+02+22+32例2：在上均匀分布，求解：有分布密度.例3：在区域均匀分布，由轴、轴及直线围成。求、及。解：的分布密度为,①；②；③。4．数学期望的性质（1）是常数，则。证：，则。（2）是常数，若存在，则存在，且证：若有分布律则（3）是二维随机变量，若存在，则存在，且证：有分布律(则，所以==推论：是维随机变量，若存在，则存在，且又若是实数，则练习：，，，求（4）是二维随机变量，若独立，存在，则存在，且证：若有分布律(独立，（）==推论：若独立，存在，则存在，且练习：①独立，，求②，求（5）马尔科夫不等式：若且存在，则对任何实数，有证：设有分布密度，则由有时，，∴时，.=（6），若则例1：，则证：方法一：方法二：次独立试验，每次试验成功的概率是，表示成功的次数，则，即.记则有分布律且，∴练习：一民航客车载有20位旅客，到达一站若无旅客下车则不停车，共有10站，而停车次数为，求。（假定旅客在各站下车等可能，且各旅客是否下车相互独立）。§2.方差1．定义：是随机变量，若的数学期望存在，则称为的方差，记做（或或）===例1：，则证：，，例2：，则证：令，则=（上式“=”用到）N(0,1/4)，N(0,1)和N(0,2)的密度曲线：-5-4-3-2-101234500.10.20.30.40.50.60.70.8常用公式：例如：，则例3：，则证：，==∴练习：服从指数分布，有分布密度，则证：；=所以，2．方差的性质（1）是任意常数，则证：./*反之，若，即，则，即*/（2）是任意常数，则k2证：=.（3）是任意常数，则证：（4）特别，独立时，证：其中的（独立时）=0，若独立，则独立，若两两独立，则练习：，，两两独立，求重要结论：若独立，，，，是不全为零的常数，则其中，例5：，则.证：方法一（利用定义）：方法二：次独立试验，每次试验成功的概率是，表示成功的次数，则，即.记则有分布律。，，，且，其中独立∴∴常见分布的数学期望和方差：分布数学期望方差二项分布几何分布泊松分布正态分布均匀分布指数分布例6：独立，，，，求，。解：若物体实际质量为,（1）称一次结果为，，，为的取值，用作为；（2）称5次结果为，，，为的取值，，为的取值，用作为；其中，，；，.§3.相关系数和协方差1．相关系数是二维随机变量，，。不一定有线性函...