二重积分的系统题型与题法

精品文档---下载后可任意编辑一、二重积分的六大对称性 假如积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列 6 类对称性定理。① 关于轴对称（关于轴对称类推）②关于都对称③关于原点对称④ 当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则⑤关于轴对称⑥ 万能轮换对称性 ● 轮换对称性描述 假如将与及交换，即 , ，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。●轮换对称性实例二、 二重积分次序选择原则与积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6 类对称挂耳边；极坐标逆弧线， 多种边界同园拆。① 先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；■ 题型一 关于积分交换次序题法【例 1】计算 由所围。解：幂次高，所以先积② 若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例 2】，D 由所围。解：被积函数只有一个变量，先积12D0y , f x y122( , ), ( ,)( , )( , )0, ( ,)( , )DDf x y dxdyfyf xyf x yf x y dxdyf xyf x y是关于 的偶函数，即, X Y144( , ), (, )( ,)( , )( , )0, (, )( , )( ,)( , )DDf x y dxdyfx yf xyf x yf x y dxdyfx yf x yf xyf x y或120, (,)( , )( , )2( , ), (,)( , )DDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x y12( , )( , )DDf x y dxdyf x y dxdyXa0Dxa dxdyxyyzzx111110,00,02222222114422102333 xyxyx yx yxyxyxyxyababIa xb y dxdyxy dxdyxy dxdyabxdxdyxyxyyxIdxdydxdyxyxyyx   22, DxIdxdyy 22, =1,2xyyxx=22:12,1Dxyxx   2222122217 =+arctan2- 84xxDxxIdxdydxdyyy ...