全等三角形拓展题尖子生专用

精品文档---下载后可任意编辑知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2024 武汉江汉区压轴题．（本题 12 分）△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，AD 是△ABC 的中线，以 AC 为边作等边△ACE，BE 分别与直线 AD、AC 交于点 F、G，连接 CF(1) ① 如图 1，若△ABC、△ACE 位于 AC 异侧，求∠EFC 的度数 ② 试推断线段 EF、DF、AF 之间的数量关系，并说明理由(2) 若△ABC、△ACE 位于 AC 同侧，试完成备用图，并直接写出线段 EF、DF、AF 之间的数量关系解：(1) ① AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α AB＝AC，AD 是△ABC 的中线 ∴设∠BAD＝∠CAD＝β 又 2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60° ② 过点 C 作 CH⊥BE 于 H ∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠HEC可证：△ABD≌△EHC（AAS）∴HE＝AD易证：△CFH≌△CFD（AAS）∴FH＝DF∴EF－FH＝AF－DF即 EF－AF＝2DF(3) 作图、证明的过程一样AF－EF＝2DF2024 武珞路中学．（本题 10 分）已知等边三角形 ABC，M 为 AB 上的一点，以 CM 为边作等边△CMN，连接 BN(1) 求证：AM＝BN(2) 作 MH⊥BC 于 H，连接 AH．若 AH∥MN，AM＝1，求 CH 的长证明：(1) △ACM≌△BCN（SAS）(2) 由(1)知：△ACM≌△BCN∴∠CBN＝∠MAC＝60°∴∠MBN＝60°＋60°＝120过点 M 作 MD∥BC 交 AC 于 D∴△AMD 为等边三角形∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60°∴BM＝CD，∠MDC＝120°在△BMN 和△DCM 中∴△BMN≌△DCM（SAS）∴∠BMN＝∠DCM AH∥MN∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM在△BAH 和△ACM 中∴△BAH≌△ACM（ASA）∴BH＝AM＝1∴BM＝HC MH⊥BC，∠MBH＝60°∴BM＝2BH＝2∴CH＝22024 武珞路中学．（本题 10 分）如图 1，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，以 AB 为边向外作等边△ABE，直线 CE 与直线 AD 交于点 F(1) 若 AF＝10，DF＝3，试求 EF 的长(2) 若以 AB 为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图 2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF 三者的数量关系，并证明你的结论精品文档---下载后可任意编辑．解：(1) 设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β 在△ACE 中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60° 连接 BF ∴∠BFD＝∠CFD＝60° ∴BF＝CF＝2DF＝6 在 EC 上截取 EG＝CF，连接 A...