解析几何中的最值问题VIP专享VIP免费

解析几何中的最值问题【教学目标】知识与技能：1.能够根据变化中的几何量的关系，建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求出某些最值；或者列出关于目标量的不等式求出目标量的范围．2.能够比较熟练地应用数形结合的思想，结合曲线的定义和几何性质，用几何法求出某些最值．过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。情感、态度、价值观：培养学生辩证唯物观，体会事物在一定条件下可以相互转化。重难点：建立目标函数，寻找恰当的解法【方法指导】①建立目标函数，运用函数求最值的思想．②列出目标量的不等式，解出目标量的范围．③根据问题的几何意义，运用“数形结合的思想”求解．【考点检测】1．设F（c，0）是椭圆（a>b>0）的一个焦点，直线经过原点与此椭圆交于A、B两点，则△ABF面积最大值为bc．分析：设则.评注：将三角形分割成两个同底等高的三角形，且两个三角形的底都为定值，此时，很容易就能建立函数关系式进行求解.2．P是椭圆上的点，F1、F2是焦点,设k=|PF1||PF2|，则k的最大值与最小值之差为1.法一：（用焦半径公式）ABFPF1F2设，由题意知则.法二：（用第一定义）评注：①此题主要运用了函数求最值的思想.②此题也可用两点间的距离公式将k表示出来，再将y换成x.3．已知椭圆，则的最大值5．法一：（线性规划）令，则由令，得，所以法二：（参数法）令，则所以评注：此题可由“x+y”联想到线性规划，进而可用数形结合的思想来解题.4．已知椭圆内有一点，为右焦点，椭圆上求一点，PFMN使的最小，最小值为7.分析：，右准线，，因此三点共线时，有最小值为7.变式训练：若求的最小值呢？分析：由定义知，所以所以，当三点共线且点位于第四象限时评注：此题主要考查了椭圆的第一、第二定义的应用，及用数形结合求最值的思想.【热点分析】例题：已知点A(3,0)、B(0,4)，动点P（x，y）在线段AB上，求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.解：（1）法一：（函数的思想）线段AB的方程为所以，因此，故法二：（线性规划）令，则，将直线在可行域内平移可得最小值为3.（2）法一：（函数的思想）.所以法二：（数形结合）PF1FM·BAOP·BAOPH表示原点O到点P的距离的平方，作OH⊥AB于点H.则（3）令，则表示点P到O、M的距离之和所以O、P、M三点共线时，有最小值为.评注：解析几何中有些表达式具有明显的几何意义.如：x+y可转化为截距；x2+y2可转化为距离；（y+2）/（x-1）可转化为斜率.变式训练1：A,B,P同上，求的最小值分析：令，如图作关于直线AB的对称点，则所以.变式训练2：在直线：x－y＋9=0上任意取一点P，经过P点以椭圆：的焦点为焦点作椭圆E.（1）P在何处时，E的长轴最短？（2）求E长轴最短时的方程.方法一：（数形结合的思想），作关于的对称点则所以三点共线时，.此时，由得，同时可得椭圆方程为.·BAOPM··BAOPM·M’·····PF1F2F1’方法二：（不等式的思想）由题意知，所以可设椭圆方程为.由（★）得令得，所以，将代入（★）得，椭圆方程为.评注：此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想．在解析几何中利用列不等式是隐含条件，要引起注意.【课堂练习】如果点在圆上运动，则的最大值为.解：表示斜率的一半.【课堂小结】本节课我们主要讲了解析几何中求最值的三种常用思想，①建立目标函数，运用函数求最值的思想；②列出目标量的不等式，解出目标量的范围；③根据问题的几何意义，运用“数形结合的思想”求解．其中优先考虑“函数的思想”和“数形结合的思想”，最后再考虑“不等式的思想”．PF1F2···