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解析几何中的最值问题VIP免费

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解析几何中的最值问题【教学目标】知识与技能:1.能够根据变化中的几何量的关系,建立目标函数,然后利用求函数最值的方法求出某些最值;或者列出关于目标量的不等式求出目标量的范围.2.能够比较熟练地应用数形结合的思想,结合曲线的定义和几何性质,用几何法求出某些最值.过程与方法:通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。情感、态度、价值观:培养学生辩证唯物观,体会事物在一定条件下可以相互转化。重难点:建立目标函数,寻找恰当的解法【方法指导】①建立目标函数,运用函数求最值的思想.②列出目标量的不等式,解出目标量的范围.③根据问题的几何意义,运用“数形结合的思想”求解.【考点检测】1.设F(c,0)是椭圆(a>b>0)的一个焦点,直线经过原点与此椭圆交于A、B两点,则△ABF面积最大值为bc.分析:设则.评注:将三角形分割成两个同底等高的三角形,且两个三角形的底都为定值,此时,很容易就能建立函数关系式进行求解.2.P是椭圆上的点,F1、F2是焦点,设k=|PF1||PF2|,则k的最大值与最小值之差为1.法一:(用焦半径公式)ABFPF1F2设,由题意知则.法二:(用第一定义)评注:①此题主要运用了函数求最值的思想.②此题也可用两点间的距离公式将k表示出来,再将y换成x.3.已知椭圆,则的最大值5.法一:(线性规划)令,则由令,得,所以法二:(参数法)令,则所以评注:此题可由“x+y”联想到线性规划,进而可用数形结合的思想来解题.4.已知椭圆内有一点,为右焦点,椭圆上求一点,PFMN使的最小,最小值为7.分析:,右准线,,因此三点共线时,有最小值为7.变式训练:若求的最小值呢?分析:由定义知,所以所以,当三点共线且点位于第四象限时评注:此题主要考查了椭圆的第一、第二定义的应用,及用数形结合求最值的思想.【热点分析】例题:已知点A(3,0)、B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上,求:(1)的最小值;(2)的最小值;(3)的最小值.解:(1)法一:(函数的思想)线段AB的方程为所以,因此,故法二:(线性规划)令,则,将直线在可行域内平移可得最小值为3.(2)法一:(函数的思想).所以法二:(数形结合)PF1FM·BAOP·BAOPH表示原点O到点P的距离的平方,作OH⊥AB于点H.则(3)令,则表示点P到O、M的距离之和所以O、P、M三点共线时,有最小值为.评注:解析几何中有些表达式具有明显的几何意义.如:x+y可转化为截距;x2+y2可转化为距离;(y+2)/(x-1)可转化为斜率.变式训练1:A,B,P同上,求的最小值分析:令,如图作关于直线AB的对称点,则所以.变式训练2:在直线:x-y+9=0上任意取一点P,经过P点以椭圆:的焦点为焦点作椭圆E.(1)P在何处时,E的长轴最短?(2)求E长轴最短时的方程.方法一:(数形结合的思想),作关于的对称点则所以三点共线时,.此时,由得,同时可得椭圆方程为.·BAOPM··BAOPM·M’·····PF1F2F1’方法二:(不等式的思想)由题意知,所以可设椭圆方程为.由(★)得令得,所以,将代入(★)得,椭圆方程为.评注:此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想.在解析几何中利用列不等式是隐含条件,要引起注意.【课堂练习】如果点在圆上运动,则的最大值为.解:表示斜率的一半.【课堂小结】本节课我们主要讲了解析几何中求最值的三种常用思想,①建立目标函数,运用函数求最值的思想;②列出目标量的不等式,解出目标量的范围;③根据问题的几何意义,运用“数形结合的思想”求解.其中优先考虑“函数的思想”和“数形结合的思想”,最后再考虑“不等式的思想”.PF1F2···

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