精品文档---下载后可任意编辑本章主要介绍《数值计算》这门课程的讨论对象、内容、数值计算基本思想及实现方法、误差分析基础和算法的若干重要概念, 引导读者对计算数学及本课程有一个大致的直观认识和了解。§1 数学问题与数值计算问题运用数学理论和方法解决实际问题的一般过程,包括几个阶段。第一阶段为建立模型。这个阶段可分成两步。先把一个实际问题归纳、抽象、提炼为一个恰当的数学问题,这是极为关键的一步。同一个实际问题,根据不同的讨论角度和要求,可以抽象为不同的数学问题。第二步是将提出的数学问题用合适的数学模型来描述,数学问题的提法不同,可得出不同类型的模型。讨论者的数学修养和能力在这一步常起到决定性作用。建立模型之后,便是分析与求解该模型。分析和求解问题常以对应的数学分支及其数学理论作为支撑,提供求解方法,由此求得的解称为理论解或解析解。 我们以前学的各门数学课程,基本上属于分析和寻求理论解的内容。不幸的是,许多已有数学理论常常难以为求得解析解提供可接受的途径。实践表明,求解数学模型,特别是对从实际中提炼出的问题所得到的数学模型,采纳数值计算方法是求解的现实之路。正是这个事实,成为激励和促进计算数学进展的主要动力。进行科学计算的第一步,需要把一个数学问题转化为一个相应的数值问题(或数值计算问题),数值问题是指输入数据(即问题实例所提供的原始数据)与输出数据(即该问题要求的计算结果)之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。数值方法是相对于数值计算问题而言的。有些数学问题本身就是一个数值计算问题;很多数学问题不是数值问题,但它往往可用数值问题来逼近。所以科学计算面对的是数值计算问题。例 1.1 解常微分方程 dydx =x2+ y2, y(0)=5,是一个数学问题,要求输出的解是连续函数y= y(x )。许多微分方程难以直接求出函数y= y(x ),假如改为规定输出y( x)在离散点 x = h, 2h, 3h,…., nh 处的函数近似值, 这就把原问题转化为一个数值问题。我们在《高等数学》学过用的 Euler 折线法是一种比较简单但精度甚低的数值计算方法。本课程将系统地讨论这类问题。又如,计算多项式p( x)=a0 xn+a1 xn−1+⋯+an−1 x+an 在 x = 5 的值,这本身是数学问题,但同时又一个数值问题,因为输入数据为数值a0,a1,⋯,an, x ,输出数据为p(5)的数值。根据建立数值问题的基本形式,数学问题基本上可归为两大类。一类包含非有理函数或未...