数列求和的七种基本方法

精品文档---下载后可任意编辑甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2024(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了 2024 年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前项和的求法，就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：12+22+32+⋯+n2=16 n(n+1)(2n+1)13+23+33+⋯+n3=14 n2(n+1)2例 1 已知数列{an}的前项和Sn=32n−n2，求数列{|an|}的前项和.解 由Sn=32n−n2,可得an=33−2n,an>0⇔n≤16 ，所以：(1)当n≤16时,=Sn=32n−n2.(2)当n≥17 时，T n=|a1|+|a2|+⋯+|an|¿( a1+a2+⋯+a16)+( a17+a18+⋯+an)¿ S16−(Sn−S16)¿2S16−Sn¿n2−32n+512所以 例 2 求Sn=1⋅n+2⋅(n−1)+3⋅(n−2)+⋯+n⋅1.解 设ak=k(n+1−k )=k( n+1)−k2，本题即求数列{ak}的前项和.Sn=(1+2+3+⋯+n)( n+1)−(12+22+32+⋯+n2)¿12 n(n+1)⋅( n+1)−16 n(n+1)(2n+1)¿16 n(n+1)(n+2)高考题 1 (2024 年高考浙江卷文科第 19 题(部分))求数列的前项和.答案：.高考题 2 (2024 年高考四川卷理科第 19 题(部分))求数列的前项和.答案：.高考题 3 (2024 年高考福建卷文科第 17 题)在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题 4 (2024 年高考重庆卷文科第 16 题)已知是首项为 1，公差为 2 的等差数列，表示的前项和.(1)求及；(2)设是首项为 2 的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.答案：(1)；(2).2 倒序相加法事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.例 3 求正整数与之间的分母为 3 的所有既约分数的和.解 显然，这些既约分数为：m+ 13 ,m+23 ,m+ 43 ,⋯,n−43 ,n−23 ,n−13有 S=(m+13 )+(m+23 )+(m+ 43 )+⋯(n−43 )+(n−23 )+(n−13 )也有 S=(n−13 )+(n−23 )+(n−43 )+⋯(m+ 43 )+(m+ 23 )+(m+ 13 )所以 2S=(m+n)⋅2( n−m)=2(n2−m2), S=n2−m2精品文档---下载后可任意编辑例 4 设，求和.解 可先证得，由此结论用倒序相加法可求得答案为.3 裂项相消法例 5 若{an}是各项均不为 0 的等差数列，求证：1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=na1an+1 .证明 设等差数列{an}的公差为：若，要证结论显然成立；若d≠0，得1an an+1=1d ( 1an− 1an+1)1a1a2+1a2 a3+⋯+...