精品文档---下载后可任意编辑例 1 若，，则，的位置关系是（ ）．A．异面直线 B．相交直线C．平行直线 D．相交直线或异面直线分析：推断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体中，设，，则．若设，则与相交．若设，则与异面．故选 D．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，，相交，，相交，则，的位置关系是相交、平行或异面．类似地；，异面，，异面，则，的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来推断．典型例题二例 2 已知直线和点，，求证：过点有且只有一条直线和平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性命题，常用反证法．证明：（1）存在性． ，∴和可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点和平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点有两条直线和满足和．根据公理 4，必有与矛盾， ∴ 过点有一条且只有一条直线和平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例 3 如图所示，设，，，分别是空间四边形的边，，，上的点，且，，求证：（1）当时，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明即可．证明：连结，在中，，∴，且．在中，，∴，且．∴， ∴ 顶点，，，在由和确定的平面内．（1）当时，，故四边形为平行四边形；（2）当时，，故四边形是梯形．说明：显然，课本第 11 页的例题就是本题（2）的特别情况．特别地，当时，，，，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．假如再加上条件，这时，平行四边形是菱形．典型例题四例 4 已知是两条异面直线，直线上的两点的距离为 6，直线上的两点的距离为 8，的中点分别为且，求异面直线所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结，并取的中点，连结， 分别是和的中位线，∴，，即，． ba //Acb1111DCBAABCDaBA11bAB ba //cBB1cBC AaA...
