无穷级数数学一和数学三

精品文档---下载后可任意编辑引 言所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”，第一种第二种 第三种 设则， ， 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识，（1）什么是无穷多项相加？如何考虑？（2）无穷多项相加，是否一定有“和”？（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8．1 常数项级数A 内容要点一．基本概念与性质 1．基本概念 无穷多个数，依次相加所得到的表达式 称为数项级数（简称级数） 称为级数的前项的部分和。称为部分和数列。 若，则称级数是收敛的，且其和为，记以 若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特别含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。） 2．基本性质 （1）假如和皆收敛，为常数，则收敛，且等于 （2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。 发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数收敛的必要条件是。 （注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故发散。调和级数满足，但却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） 当时，收敛；1)1(1111n0)11()11()11(1)11()11()11(1Sn1)1(1111S11111SS 112S21S,,,,,321nuuuunnnuuuuu3211,3,2,13211nuuuuuSnnkkn),3,2,1(nSnSSnn存在lim1nnuSunn 1nnSlim1nnu1nnu1nnvba,1nnnbvau11nnnnvbua1nnu0limnnu111nn1)1(limnn111nn11nn01lim nn11nn0limnnu1nnu0nnar 0a1rraarnn10精品文档---下载后可任意编辑当时，发散。（2）—级数 当时， 收敛； 当时， ...