有限元法在流体力学中的应用

精品文档---下载后可任意编辑本章介绍有限元法在求解理想流体在粘性流体运动中的应用。讨论了绕圆柱体、翼型和轴对——称物体的势流，分析了求解粘性流动的流函数涡度法流函数法和速度压力法，同时导出粘性不可压流体的虚功原理。§1 不可压无粘流动真实流体是有粘性和可压缩的，理想不可压流体模型使数学问题简化，又能较好地反映许多流动现象。1. 圆柱绕流本节详细讨论有限无法的解题步骤。考虑两平板间的圆柱绕流．如图 5—1 所示。为了减小计算工作量，根据流动的对称性可取左上方的 l／4 流动区域作为计算区域。 选用流函数方法，则流函数应满足以下 Laplace 方程和边界条件 (5-1)将计算区域划分成 10 个三角形单元。单元序号、总体结点号和局部结点号都按规律编排．如图 5—2 所示。从剖分图上所表示的总体结点号与单元结点号的关系，可以建立联缀表于下元素序号12345678910总体结点 号n11444226655n2459865710109n322593637810 表 5-1各结点的坐标值可在图 5—2 上读出。假如要输入计算机运算必须列表。本质边界结点号与该点的流函数值列于下表边界结点号n12348910流函数 Φ2221000 表 5-2选用平面线性三角形元素，插值函数为(3—15)式。对二维 Laplace 方程进行元素分析，得到了单元系数矩阵计算公式(3—19)和输入向量计算公式(3—20)。现在对全部元素逐个计算系数矩阵。例如元素 1，其结点坐标为=0,=2;=0,=1;=2.5,=2.由(3—15)式可得精品文档---下载后可任意编辑; ,; ;; 从(3—19)式可计算出依次可计算出全部子矩阵根据联缀表把元素矩阵组合成总体系数矩阵A=矩阵中零元素没有一一写出，下三角部分与上三角部分对称。从(3—20)式计算元素输入向量，由于流函数满足齐次的自然边界条件,所以输入向量为零，总体输入向量也为零，这样就得了总体有限元方程.式中:精品文档---下载后可任意编辑 用缩减方程的重新编号修正方法施加边界条件，本质边界结点的函数值是已知的。把它们代入方程，修正右端项，再减去相应的方程，整理得 解方程得到＝0.845，=1.241， 这样求出了全部结点上的流函数。为了求出每个单元形心处的速度，可以由单元的流函数近似表达式求导计算。对元素 e 来 说，有例如单元=2,=1,=3，这样计算得到的速度为 u=1,＝0。二维绕圆柱流动还可以用势函数求解，则定解问题可写成表示势函数，为了使数值解唯一必须在部分边界上给定本质边界条件。势函数边界同样标记在图 5—l 上。势因数满足 Lapl...