精品文档---下载后可任意编辑第 15 讲:极点与极线的性质极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题常常出现
掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途
定义:已知曲线 G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,则称点 P(x0,y0)和直线 l:ax0x+by0 x+ x0 y2+cy0y+dx+x02+ey+ y02+f=0 是曲线 G 的一对极点与极线,点 P 称为直线 l 关于曲线 G 的极点;直线 l 称为点 P 关于曲线 G 的极线
称点 P 与直线 l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”
特别地,当点 P 在曲线 G 上时,点 P 关于曲线 G 的极线是曲线 G 在点 P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点
[位置关系]:已知点 P 关于圆锥曲线 G 的极线是直线 l,则三者的位置关系是:① 若点 P 在曲线 G 上,则直线 l 是曲线 G 在点 P 处的切线;② 若点 P 在曲线 G 外,则直线 l 是由点 P 向曲线 G 引两条切线的切点弦;③ 若点 P 在曲线 G 内,则直线 l 是经过点 P 的曲线 G的弦的两端点处的切线交点轨迹
如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:假如点 P 的极线通过点 Q,则点 Q 的极线也通过点 P
证明:设圆锥曲线 G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,点 P(xp,yp),Q(xQ,yQ),则点 P、Q 关于曲线 G 的极线方程分别为 p:axpx+by p x+x p y2+cypy+dx+x p2+ey+ y p2+f=0,q:axQx+byQx+xQ
