在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响VIP免费

在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响对两个函数y=f(x)、y=g(x),若任意一个自变量∈Ｄ,存在一个自变量∈Ｄ,使得g()＝f().则隐含着两函数存在关系,对函数值构成的集合是函数y=f(x)的值域;使得g()＝f(),说明f()也是y=g(x)值域中的值,即函数y=f(x)的值域是y=g(x)值域的子集.能够从题意中概括总结出两者值域的关系，是解决此类问题的关键，可以从以下例子中体会此类问题的解决方法．例1.已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值域；（3）函数g（x）=-x-2，证明：∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）成立．分析:（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln()，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．（3）证明：由：∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）,即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′(x)=a+．令f′(x)=a+=0，可得a=-∵x∈（1，e），∴-∈(-1，-)∴a∈(-1，-)又因为x∈（1，e）所以，f（x）有极值，实数a的取值范围为(-1，-)．（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln()又∵f（1）=a，f（e）=ae+1由a≥ae+1，解得a≤又∵-1＜＜-∴当-1＜a≤时，函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（）当＜a＜-时，函数f（x）的值域为（a，-1+ln（）]．（3）证明：由g（x）=-x-2求导可得g'（x）=3-1令g'（x）=3-1=0，解得x=±令g'（x）=3-1＞0，解得x＜-或x＞又∵x∈(1，e)⊆(，+∞)∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数∵g（1）=-2，g（e）=-e-2∴g（x）在x∈（1，e）的值域为（-2，-e-2）∵-e-2＞-1+ln()，-2＜ae+1，-2＜a∴(ae+1，-1+ln()]⊆(-2，-e-2)，(a，-1+ln()]⊆(-2，-e-2)∴∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）成立．分析:（1）先对函数进行求导，根据函数在x=1，x=取得极值，则f′(1)=0，f′()=0，代入可求a，b的值．(2)由题意得,g(x)的最小值大于或等于f(x)的最小值,从另一角度看,g(x)的值域是f(x)值域的子集.解：（1）∵f(x)=2ax-+1nx，∴f′(x)=2a+．∵f（x）在x=1，x=处取得极值，∴f′(1)=0，f′()=0即2a+b+1=02a+4b+2=0解得a=-b=-∴所求a、b的值分别为-，-(2)f(x)-lnx=在时单调递减,最小值为图象的对称轴是，①当时，依题意成立，②当时，即，又③当时，，，这与m>2矛盾.综上所得: