定积分典型例题

定积分典型例题 例 1 求33322321lim(2)nnnnn ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为1ixn，然后把2111nnn的一个因子 1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322321lim(2)nnnnn =333112lim()nnnnnn =1 3034x dx ． 例 2 2202 xxdx=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，2202 xxdx等于上半圆周22(1)1xy (0y ) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202 xxdx=2 ． 解法 2 本题也可直接用换元法求解．令 1x  = sin t （22t），则 2202 xxdx=2221sincosttdt=22021sincosttdt=2202cos tdt=2 例 3 比较12xe dx，212xedx，12(1)x dx． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法 1 在[1, 2] 上，有2xxee．而令( )(1)xf xex，则( )1xfxe ．当0x 时，( )0fx，( )fx 在 (0,) 上单调递增，从而( )(0)fxf，可知在 [1, 2] 上，有1xex．又 1221( )( )f x dxf x dx ，从而有2111222(1)xxx dxe dxedx． 解法 2 在[1, 2] 上，有2xxee．由泰勒中值定理212!xeexx得1xex．注意到1221( )( )f x dxf x dx ．因此 2111222(1)xxx dxe dxedx． 例 4 估计定积分202xxedx的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2( )xxfxe, 因为 2( )(21)xxfxex, 令( )0fx，求得驻点12x , 而 0(0)1fe , 2(2)fe, 141()2fe, 故 124( ),[0, 2]efxex, 从而 21224022xxeedxe, 所以 21024222xxeedxe . 例 5 设( )fx ， ( )g x 在[ , ]a b 上连续，且( )0g x ， ( )0fx ．求 lim( )( )bnang xf xdx  ． 解 由于( )fx 在[ , ]a b 上连续，则( ...